[论文解读] Fractional Calculus and certain integrals of Generalized multiindex Bessel function

Kottakkaran Sooppy Nisar, Sunıl Dutt Purohıt+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文引入了一种新的广义多指标贝塞尔函数，并推导出其黎曼-刘维尔分数阶积分与导数公式。通过以 Fox-Wright 函数为统一框架，作者建立了该函数的积分变换，证明此类积分可简化为广义超几何型函数，从而扩展了分数阶微积分与特殊函数领域的已知结果。

ABSTRACT

We aim to introduce the generalized multiindex Bessel function $J_{\left( β_{j} ight) _{m},κ,b}^{\left( α_{j} ight)_{m},γ,c}\left[ z ight] $ and to present some formulas of the Riemann-Liouville fractional integration and differentiation operators. Further, we also derive certain integral formulas involving the newly defined generalized multiindex Bessel function $J_{\left( β_{j} ight) _{m},κ,b}^{\left( α_{j} ight)_{m},γ,c}\left[ z ight] $. We prove that such integrals are expressed in terms of the Fox-Wright function $_{p}Ψ_{q}(z)$. The results presented here are of general in nature and easily reducible to new and known results.

研究动机与目标

• 定义一种具有多个参数和复数指数的新广义多指标贝塞尔函数。
• 研究黎曼-刘维尔分数阶积分与微分算子在该新函数上的作用。
• 推导涉及广义函数的闭式积分表示，并以 Fox-Wright 函数形式表达。
• 通过引入额外参数与指数，推广分数阶微积分与特殊函数中的已知结果。
• 通过参数特化提供评估各种特殊情况的统一框架。

提出的方法

• 将广义多指标贝塞尔函数 $\mathcal{J}_{(\beta_j)_m,\kappa,b}^{(\alpha_j)_m,\gamma,c}[z]$ 定义为包含 Pochhammer 符号与广义 Gamma 函数的级数形式。
• 利用已知积分公式，对广义贝塞尔函数应用黎曼-刘维尔分数阶积分与微分算子。
• 使用 Mellin-Barnes 型积分表示与广义 Lauricella 函数来计算所得积分。
• 利用 Fox-Wright 函数 ${}_p\Psi_q(z)$ 的级数定义与收敛条件，将最终结果表示为该函数形式。
• 利用 Pochhammer 符号与 Gamma 函数恒等式，简化级数展开中的乘积与比值。
• 通过参数特化验证结果，表明其与 Choi 和 Agarwal (2014) 中已知的特殊函数一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一种广义多指标贝塞尔函数，以包含多个指标与复参数？
• RQ2 在黎曼-刘维尔算子下，该广义贝塞尔函数的分数阶积分与导数公式为何？
• RQ3 涉及该函数的积分如何通过 Fox-Wright 函数等特殊函数表达？
• RQ4 确保所推导积分公式有效的收敛条件与参数约束为何？
• RQ5 在适当的参数特化下，结果如何简化为已知的特殊函数？

主要发现

• 广义多指标贝塞尔函数 $\mathcal{J}_{(\beta_j)_m,\kappa,b}^{(\alpha_j)_m,\gamma,c}[z]$ 被定义为包含 Pochhammer 符号与广义 Gamma 函数的超几何型级数。
• 广义贝塞尔函数的黎曼-刘维尔分数阶积分表示为 Fox-Wright 函数 ${}_p\Psi_q(z)$，其参数集由函数的指数显式导出。
• 推导出涉及 $x^{\xi-1}(1-x)^{2(\xi+\sigma)-1}(1-x/3)^{2(\xi+\sigma)-1}(1-x/4)^{\xi+n-1}$ 的特定积分公式，结果以 ${}_2\Psi_{m+1}$ 形式表示，其分子参数为 $\left(\gamma,k\right), \left(\xi,1\right)$，分母参数为 $\left(\beta_j + \frac{b+1}{2}, \alpha_j\right)_{j=1}^m, \left(2\xi+\sigma,1\right)$。
• 通过参数特化表明，结果可简化为已知的特殊函数，例如当 $c = -1$ 且 $b = 1$ 时，可恢复 Choi 和 Agarwal (2014) 的结果。
• Fox-Wright 函数在结果中的收敛性由条件 $1 + \sum B_j - \sum A_j \geq 0$ 确保，且收敛半径 $\nabla$ 明确定义。
• 所推导的公式具有普遍性，可包含众多已知结果作为特例，充分体现了 Fox-Wright 函数在分数阶微积分中的统一作用。