[论文解读] Fractional differential equations: alpha-entire solutions, regular and irregular singularities

Anatoly N. Kochubei|ArXiv.org|Jun 11, 2008

Meromorphic and Entire Functions参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文研究了阶数 $\alpha \in (0,1)$ 的分数阶微分方程，采用黎曼-刘维尔导数与卡普托-德日巴相安导数，建立了 $\alpha$-整函数解的生长阶数的精确上界，并发展了一套适用于具有正则奇点的系统之弗罗贝尼乌斯型方法。此外，本文还分析了一个具有非正则奇点的模型方程，证明当 $\alpha$ 无法被有理数良好逼近时，其形式解在 $t > 0$ 处点态收敛，但在分布意义下发散，凸显了与经典常微分方程理论的根本差异。

ABSTRACT

We consider fractional differential equations of order $α\in (0,1)$ for functions of one independent variable $t\in (0,\infty)$ with the Riemann-Liouville and Caputo-Dzhrbashyan fractional derivatives. A precise estimate for the order of growth of $α$-entire solutions is given. An analog of the Frobenius method for systems with regular singularity is developed. For a model example of an equation with a kind of an irregular singularity, a series for a formal solution is shown to be convergent for $t>0$ (if $α$ is an irrational number poorly approximated by rational ones) but divergent in the distribution sense.

研究动机与目标

• 建立阶数 $\alpha \in (0,1)$ 的分数阶微分方程的 $\alpha$-整函数解的生长阶数的精确估计。
• 为具有正则奇点的分数阶微分方程组发展类似弗罗贝尼乌斯方法的理论。
• 研究具有非正则奇点的模型方程的形式解的收敛性与分布性质。
• 阐明当 $\alpha$ 为无理数且满足丢番图条件时，解的解析与分布性质。

提出的方法

• 推导出满足 $u(t) = U(t^\alpha)$ 的整个函数 $U(z)$ 的阶数上界，使得其满足卡普托-德日巴相安方程 $\mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$，并证明该阶数不超过 $(1 + \deg A)/\alpha$。
• 将形式幂级数方法应用于形如 $t^\alpha \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$ 的系统，证明在 $A(z)$ 满足适当条件时，级数收敛。
• 通过涉及 Gamma 函数的递推关系，构造模型方程 $t^{2\alpha} \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = \lambda u(t)$ 的形式解：$c_n = \lambda^n \frac{\Gamma(1 - (n+1)\alpha)}{\Gamma(1 - \alpha)} c_0$。
• 利用恒等式 $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \pi / \sin(\pi z)$，将形式解改写为倒正弦函数与 Gamma 函数的组合。
• 应用 Thue-Siegel-Roth 定理，假设 $\alpha$ 无法被有理数良好逼近，从而保证 $|\sin(\pi(n+1)\alpha)| \geq c(n+1)^{-1-\varepsilon}$，其中 $c, \varepsilon > 0$。
• 通过与 $\varkappa_\alpha(t)$ 的对偶配对分析分布收敛性，表明由于系数范数在对偶配对中呈现超指数增长，级数在 $\left(\Phi_{+}^{1-\alpha}\right)'$ 中发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有多项式系数的分数阶微分方程的 $\alpha$-整函数解的最大可能生长阶数是多少？
• RQ2 能否将弗罗贝尼乌斯型方法适配于具有正则奇点的分数阶微分方程？
• RQ3 当 $\alpha$ 满足何种算术条件时，方程 $t^{2\alpha} \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = \lambda u(t)$ 的形式解在点态意义下收敛？
• RQ4 为何具有非正则奇点的模型方程的形式解虽在点态意义下收敛，却在分布意义下发散？
• RQ5 在具有非正则奇点的分数阶微分方程中，解的解析性质与经典常微分方程相比有何不同？

主要发现

• 对应于方程 $\mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$ 的解 $u(t) = U(t^\alpha)$ 的整个函数 $U(z)$ 的阶数不超过 $(1 + \deg A)/\alpha$，当 $A(z) = \lambda$ 时取等（即 Mittag-Leffler 情形）。
• 当 $A(z)$ 在某圆盘内亚纯时，方程 $t^\alpha \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$ 的形式幂级数解在 $t = 0$ 附近收敛，前提是满足标准解析性假设。
• 当 $\alpha$ 无法被有理数良好逼近时（例如代数无理数），形式解 $u(t) = \sum_{n=0}^\infty \Gamma(1 - (n+1)\alpha) t^{-n\alpha}$ 对所有 $t > 0$ 收敛。
• 尽管存在点态收敛，该级数在分布空间 $\left(\Phi_{+}^{1-\alpha}\right)'$ 中发散，原因在于对偶配对中系数范数的超指数增长。
• 发散源于 $|\sin(\pi(n+1)\alpha)^{-1}|$ 与 $\Gamma((n+1)\alpha)^{-1}$ 的乘积，其增长速度快于任意指数，导致分布范数无界。
• 该解与哈代函数类相关，表明分数阶微积分中存在经典整数阶方程中所不具备的内在奇点。