[论文解读] Fractional differential inclusions with a new class of set-valued contractions

Hüseyin Işık|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2018

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文引入了一类新的集值压缩映射——通过弱化辅助函数 $θ$ 的条件并引入辅助函数，对现有的 $θ$-压缩映射框架进行了推广。在完备度量空间中建立了多值映射的新不动点定理，并将其应用于证明具有积分边界条件的非局部 Caputo 型分数阶微分包含解的存在性。

ABSTRACT

The aim of this study to investigate the existence of solutions for the following nonlocal integral boundary value problem of Caputo type fractional differential inclusions. To achieve our goals, we take advantage of fixed point theorems for multivalued mappings satisfying a new class of contractive conditions in the setting of complete metric spaces. We derive new fixed point results which extend and improve many results in the literature by means of this new class of contractions. We also supply some examples to support the new theory.

研究动机与目标

• 通过弱化函数 $θ$ 的条件并引入辅助函数，发展一类新的多值压缩映射，以推广现有的 $θ$-压缩框架。
• 在新压缩条件下，建立完备度量空间中多值映射的不动点定理，扩展文献中已有的结果。
• 将新不动点理论应用于证明具有积分边界条件的非局部 Caputo 型分数阶微分包含解的存在性。
• 通过具体例子和与现有结果的比较，展示新压缩框架的广义性和适用性。
• 利用所发展的不动点理论，提供分数阶微分包含在非局部积分边界条件下解存在的充分条件。

提出的方法

• 通过修改 $θ$-压缩框架，引入一类新的多值映射压缩映射，允许对函数 $θ$ 的条件更弱，并引入辅助函数。
• 在完备度量空间的非空、闭、有界子集空间上，定义广义的 Pompeiu-Hausdorff 距离 $H$，以度量集合之间的距离。
• 证明在新压缩条件下，满足该条件的多值映射存在不动点，建立新的不动点定理。
• 将不动点定理应用于与分数阶微分包含问题相关的解算子 $\Lambda_F$，证明 $\Lambda_F$ 是一个 $\vartheta_\rho$-压缩映射。
• 利用函数 $\vartheta(t) = e^{\sqrt{t}}$ 的性质，以及压缩条件 $\vartheta(H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x}))) \leq [\vartheta(\rho(\|x-\tilde{x}\|, \dots))]^k$（其中 $k \in (0,1)$）来验证压缩条件。
• 通过控制多值映射 $F$ 和函数 $g_k$ 的范数，对 Hausdorff 距离 $H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x}))$ 进行上界估计，得到 $H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x})) \leq e^{-\tau}\|x - \tilde{x}\|$，其中 $\tau > 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $θ$-压缩映射中，是否可以在保持多值映射不动点存在性的前提下，弱化对函数 $θ$ 的条件？
• RQ2 新一类压缩映射是否可用于推广完备度量空间中多值映射的已有不动点定理？
• RQ3 新压缩框架是否允许在具有非局部积分边界条件的分数阶微分包含中存在解？
• RQ4 与 Banach、Nadler、Jleli 和 Samet 以及 Vetro 的结果相比，新压缩条件在广义性和适用性方面有何优势？
• RQ5 新不动点理论是否能有效应用于证明具有复杂边界条件的非线性分数阶微分包含的存在性结果？

主要发现

• 本文建立了一类新的多值压缩映射，通过弱化 $θ$ 的条件并引入辅助函数，推广了现有的 $θ$-压缩结果。
• 在新压缩条件下，证明了完备度量空间中多值映射的新不动点定理，扩展了 Banach、Nadler、Jleli 和 Samet 以及 Vetro 的结果。
• 分数阶微分包含的解算子 $\Lambda_F$ 被证明是一个 $\vartheta_\rho$-压缩映射，满足 $\vartheta(H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x}))) \leq [\vartheta(\rho(\|x-\tilde{x}\|, \dots))]^k$，其中 $k = \sqrt{e^{-\tau}} \in (0,1)$。
• 对于 $\beta = 6.7$，$T=1$，$\alpha=0.5$ 的示例问题，常数 $\gamma_1 \approx 2.07$，$\gamma_2 \approx 0.5727$，$\|m\| \approx 0.125$ 满足 $\gamma_1\|m\| + \gamma_2 \approx 0.83145 \leq e^{-\tau}$，其中 $\tau \in (0, \frac{1}{6}]$，从而满足压缩条件。
• 由于解算子 $\Lambda_F$ 在完备度量空间中存在不动点，因此非局部分数阶微分包含的解存在性由不动点定理保证。
• 理论框架通过两个例子得到支持：一个一般性例子和一个具体例子，其中压缩条件通过数值方法验证，展示了新结果的适用性和优越性。