[论文解读] Fractional dynamical systems and applications in mechanics and economics

Mihai Boleantu, Dumitru Opriş|ArXiv.org|Sep 11, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过使用黎曼-刘维尔分数阶导数，在微分流形上引入分数阶喷射纤维丛框架，以推广经典力学与经济学模型。通过在 $ J^{\beta}(\mathbb{R}, M) $ 上应用变分法，推导出分数阶欧拉-拉格朗日方程，证明分数阶拉格朗日量可描述非经典方程（如阻尼振子和经济周期），关键结果表明分数阶变分原理与 $ 2\alpha $、$ 4\alpha $ 和 $ 6\alpha $ 阶分数阶微分方程之间存在等价性。

ABSTRACT

Using the fractional integration and differentiation on R we build the fractional jet fibre bundle on a differentiable manifold and we emphasize some important geometrical objects. Euler-Lagrange fractional equations are described. Some significant examples from mechanics and economics are presented.

研究动机与目标

• 通过将经典变分法推广至分数阶导数，填补力学与经济学中非保守或具有记忆依赖系统缺乏变分表述的空白。
• 构建一个几何框架——分数阶喷射纤维丛 $ J^{\alpha}(\mathbb{R}, M) $ ——以在微分流形上建模分数阶动力系统。
• 利用阶数为 $ \alpha \in (0,1) $ 的分数阶导数，推导分数阶欧拉-拉格朗日方程，实现对非整数阶动力系统进行变分分析。
• 提供具体示例，表明分数阶拉格朗日量可恢复已知的运动方程，如阻尼振子与经济周期模型。
• 通过引入分数阶动力联络与分数阶喷射空间上的极值量概念，弥合分数阶微积分与几何力学之间的鸿沟。

提出的方法

• 在 $ \mathbb{R} $ 上定义左、右向黎曼-刘维尔分数阶导数，使用伽马函数与具有奇异核的积分算子。
• 构建分数阶切丛 $ \text{Osc}^{\alpha k}(M) $，并将其推广至分数阶喷射纤维丛 $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) = \mathbb{R} \times \text{Osc}^{\alpha k}(M) $，推广经典喷射丛。
• 在 $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) $ 上引入分数阶动力联络，支持二阶分数阶微分方程的表述。
• 通过在拉格朗日量 $ L: J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) \to \mathbb{R} $ 上应用变分原理，推导分数阶欧拉-拉格朗日方程，涉及拉格朗日量对分数阶速度的分数阶导数。
• 利用分数阶极值量概念定义分数阶喷射丛中的极值曲线，确保在 $ \alpha \to 1 $ 极限下与经典极值量保持一致。
• 将该形式化方法应用于构建阻尼振子与经济周期等系统的分数阶拉格朗日量，验证其欧拉-拉格朗日方程可重现已知的分数阶常微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将微分几何中经典的喷射丛形式化推广至包含分数阶导数，以建模非局部动力？
• RQ2 分数阶喷射纤维丛 $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) $ 的结构是什么？它如何支持分数阶微分方程的表述？
• RQ3 分数阶欧拉-拉格朗日方程如何从 $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) $ 上的变分原理中导出？其与经典欧拉-拉格朗日方程的关系为何？
• RQ4 能否构造分数阶拉格朗日量以重现力学与经济学中已知的非保守或具有记忆依赖的方程？
• RQ5 马提格尔-莱夫勒函数与分数阶泰勒级数在表征分数阶变分问题解中的作用为何？

主要发现

• 分数阶喷射纤维丛 $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) $ 被严格定义为 $ \mathbb{R} \times \text{Osc}^{\alpha k}(M) $，为分数阶动力系统提供了几何基础。
• 通过在 $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) $ 上应用变分法，推导出分数阶欧拉-拉格朗日方程，得到阶数为 $ 2\alpha $、$ 4\alpha $ 与 $ 6\alpha $ 的非自治分数阶微分方程。
• 当 $ \alpha = \frac{1}{2} $ 时，拉格朗日量 $ L(t,x,y^{(1/2)}) = U_1(t,x) - \frac{1}{2}\Gamma(2)(y^{(1/2)})^2 $ 产生方程 $ D_t^{2\alpha}x(t) + V_1(t,x) = 0 $，恢复分数阶阻尼振子。
• 拉格朗日量 $ L(t,x,y^{(1/2)},y^{(1)}) = U_2(t,x) - \frac{1}{2}a_1\Gamma(2)(y^{(1/2)})^2 + \frac{1}{2}\Gamma(3)(y^{(1)})^2 $ 导出分数阶方程 $ D_t^{4\alpha}x(t) + a_1 D_t^{2\alpha}x(t) + V_2(t,x) = 0 $，与非齐次菲利普斯模型一致。
• 类似地，拉格朗日量 $ L(t,x,y^{(1/2)},y^{(1)},y^{(3/2)}) $ 生成三阶分数阶方程 $ D_t^{6\alpha}x(t) + a_2 D_t^{4\alpha}x(t) + a_1 D_t^{2\alpha}x(t) + V_3(t,x) = 0 $，适用于包含创新因素的经济周期模型。
• 分数阶变分原理在 $ \alpha \to 1 $ 极限下恢复经典方程，证实与标准力学的一致性，验证了该框架的物理合理性。