[论文解读] Fractional elliptic problems with critical growth in the whole of $\R^n$

Serena Dipierro, María Medina+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用 67

一句话总结

本专著通过变分法与非局部扩展技术，证明了在 $ℝ^n$ 上具有临界增长的分数阶椭圆方程至少存在两个正解。通过适配山路定理与量身定制的集中紧性原理，作者克服了全空间中紧致性缺失的问题，利用局部极小值证明了一个解的存在性，而第二个解则通过在临界阈值以下利用山路几何的反证法得到证明。

ABSTRACT

We study the following nonlinear and nonlocal elliptic equation in~$\R^n$ $$ (-Δ)^s u = ε\,h\,u^q + u^p \ {\mbox{ in }}\R^n, $$ where~$s\in(0,1)$, $n>2s$, $ε>0$ is a small parameter, $p=\frac{n+2s}{n-2s}$, $q\in(0,1)$, and~$h\in L^1(\R^n)\cap L^\infty(\R^n)$. The problem has a variational structure, and this allows us to find a positive solution by looking at critical points of a suitable energy functional. In particular, in this paper, we find a local minimum and a mountain pass solution of this functional. One of the crucial ingredient is a Concentration-Compactness principle. Some difficulties arise from the nonlocal structure of the problem and from the fact that we deal with an equation in the whole of~$\R^n$ (and this causes lack of compactness of some embeddings). We overcome these difficulties by looking at an equivalent extended problem.

研究动机与目标

• 分析全空间 $ℝ^n$ 中具有临界非线性的非局部椭圆方程解的存在性。
• 解决由于无界区域和分数阶拉普拉斯算子的非局部结构导致的紧致性缺失问题。
• 利用变分技术证明至少存在两个不同的正解。
• 构建适用于具有临界指数的非局部问题的功能分析框架。
• 将经典工具如山路定理与集中紧性原理适配至非局部设定。

提出的方法

• 通过与方程 $(-\Delta)^s u = \varepsilon h u^q + u^p$ 相关的能量泛函，将问题表述为变分方程。
• 采用扩展问题方法，将非局部方程转化为高一维中的局部问题。
• 应用加权Sobolev嵌入定理以处理临界指数 $p = \frac{n+2s}{n-2s}$。
• 建立适用于非局部设定的集中紧性原理，以应对紧致性缺失问题。
• 利用山路定理通过反证法寻找第二个解，依赖于泛函的几何结构与Palais-Smale条件。
• 在临界水平 $\frac{s}{n} S^{n/(2s)}$ 以下证明Palais-Smale条件成立，以确保Palais-Smale序列的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^n$ 上具有临界增长的分数阶椭圆方程是否至少存在两个正解？
• RQ2 在处理非局部算子与临界非线性时，如何克服全空间中紧致性的缺失？
• RQ3 山路定理能否成功应用于具有临界指数的非局部方程？
• RQ4 扩展问题在简化非局部方程分析中起到什么作用？
• RQ5 是否可以构造一条山路路径，使其严格低于临界阈值 $\frac{s}{n} S^{n/(2s)}$？

主要发现

• 作者证明了具有临界增长的分数阶椭圆方程存在一个局部极小值解。
• 通过反证法利用山路几何，确立了第二个不同的解，表明泛函不可能仅有一个临界点。
• 泛函的山路极小值 $c_\varepsilon$ 在 $\varepsilon > 0$ 足够小时严格低于临界阈值 $\frac{s}{n} S^{n/(2s)}$。
• 在临界水平以下，能量泛函 $\mathcal{I}_\varepsilon$ 满足Palais-Smale条件，确保了Palais-Smale序列的收敛性。
• 确认了山路路径 $t \mapsto t \bar{Z}_{\mu,\xi}$ 的存在性，且对小的 $\mu$ 有 $\sup \mathcal{I}_\varepsilon(t \bar{Z}_{\mu,\xi}) < \frac{s}{n} S^{n/(2s)}$。
• 通过爆破参数 $\mu$ 分析了解的渐近行为，表明当 $\mu \to 0$ 时，$T(\mu) = 1 - c_o \mu^\beta + o(\mu^\beta)$。