[论文解读] Fractional Fourier transforms on $L^p$ and applications

Wei Chen, Zunwei Fu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 21被引用 6

一句话总结

该论文建立了 $L^p$ 理论的分数阶傅里叶变换（FRFT），适用于 $1 \leq p < 2$，通过分数阶近似恒等式及分数阶高斯和阿贝尔平均等方法，克服了在 $L^1$ 中的收敛性问题。证明了 FRFT 的逆变换、点态收敛性、分数阶卷积的有界性，并推导出 $L^p$ 乘子结果和一个 Littlewood-Paley 定理，其应用包括使用阿贝尔平均恢复啁啾信号。

ABSTRACT

This paper is devoted to the $L^p(\mathbb R)$ theory of the fractional Fourier transform (FRFT) for $1\le p &lt; 2$. In view of the special structure of the FRFT, we study FRFT properties of $L^1$ functions, via the introduction of a suitable chirp operator. However, in the $L^1(\mathbb{R})$ setting, problems of convergence arise even when basic manipulations of functions are performed. We overcome such issues and study the FRFT inversion problem via approximation by suitable means, such as the fractional Gauss and Abel means. We also obtain the regularity of fractional convolution and results on pointwise convergence of FRFT means. Finally we discuss $L^p$ multiplier results and a Littlewood-Paley theorem associated with FRFT.

研究动机与目标

• 为 $\mathbb{R}$ 上的分数阶傅里叶变换（FRFT）建立严谨的 $L^p$ 理论，适用于 $1 \leq p < 2$，并将其扩展至 $L^2$ 之外。
• 通过分数阶近似恒等式和平均方法（如分数阶高斯和阿贝尔平均），解决 FRFT 运算中在 $L^1(\mathbb{R})$ 中出现的收敛性问题。
• 通过分数阶高斯和阿贝尔平均等逼近方法，在 $L^1$ 中建立 FRFT 的逆公式。
• 推导 FRFT 平均和分数阶卷积的正则性与点态收敛性结果。
• 在 FRFT 框架下证明 $L^p$ 乘子定理和一个 Littlewood-Paley 定理。

提出的方法

• 引入啁啾算子以分析 FRFT 在 $L^1$ 中的性质，使在 $L^1$ 设置下对函数的运算成为可能。
• 使用分数阶高斯和阿贝尔平均作为逼近工具，处理 $L^1$ 中的收敛性问题，并证明 FRFT 的逆变换。
• 定义分数阶卷积，并通过逼近和有界性论证建立其正则性性质。
• 应用经典的部分求和算子及其 FRFT 类似物，推导出分数阶希尔伯特变换在 $L^p$ 上的有界性。
• 通过将分数阶部分求和算子与希尔伯特变换关联，并利用 $L^p$ 有界性，建立 FRFT 的 Littlewood-Paley 定理。
• 应用阿贝尔平均方法，恢复那些属于 $L^1$ 但不属于 $L^2$ 的信号，确保当 $\varepsilon \to 0$ 时几乎处处收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在收敛性问题，如何在 $L^1(\mathbb{R})$ 中严格定义并实现分数阶傅里叶变换的逆变换？
• RQ2 分数阶卷积和 FRFT 平均在何种条件下是良好定义且正则的？
• RQ3 能否在 FRFT 框架下建立 $L^p$ 乘子定理和一个 Littlewood-Paley 定理？
• RQ4 对于属于 $L^1$ 但不属于 $L^2$ 的信号（如啁啾信号），如何近似其逆 FRFT？
• RQ5 分数阶近似恒等式（如高斯和阿贝尔平均）在从其 FRFT 恢复信号方面起什么作用？

主要发现

• 通过分数阶高斯和阿贝尔平均逼近，FRFT 的逆公式在 $L^1(\mathbb{R})$ 中成立，且当 $\varepsilon \to 0$ 时，有 $u_\varepsilon(t) \to u(t)$ 几乎处处成立。
• 分数阶希尔伯特变换 $\mathcal{H}_\alpha$ 在 $L^p(\mathbb{R})$ 上有界，其中 $1 < p < \infty$，从而保证了部分求和算子 $S_{\rho_\alpha}$ 的有界性。
• 通过将分数阶部分求和算子与希尔伯特变换关联，并利用 $L^p$ 有界性，建立了 FRFT 的 Littlewood-Paley 定理。
• 在 FRFT 框架下，分数阶卷积被证明是正则且行为良好的，其收敛性通过逼近方法推导得出。
• 对于一个属于 $L^1(\mathbb{R}) \setminus L^2(\mathbb{R})$ 的啁啾信号 $u$，其逆 FRFT 通过阿贝尔平均恢复，且在 $\varepsilon = 1, 0.1, 0.01$ 时数值上确认了收敛性。
• 通过弗雷泽尔积分和正弦积分，显式计算了啁啾信号在 $\pi/4$ 阶 FRFT 下的变换，并利用阿贝尔平均恢复其逆变换，验证了该方法的有效性。