[论文解读] Fractional Gamma process and fractional Gamma-subordinated processes

Luisa Beghin|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过使用稳定子ordinator或其逆进行时间变换，引入了伽马子ordinator及其下位过程的分数阶版本，推导出涉及新型分数阶移位算子的分数阶微分方程。主要贡献在于为方差伽马、几何稳定和负二项分布过程的分布推导出分数阶Fokker-Planck型方程，其中针对 ν < 1 和 ν > 1 分别使用Caputo和Riemann-Liouville分数阶导数，得到不同的方程。

ABSTRACT

We define and study fractional versions of the well-known Gamma subordinator $Γ:=\{Γ(t),$ $t\geq 0\},$ which are obtained by time-changing $% Γ$ by means of an independent stable subordinator or its inverse. Their densities are proved to satisfy differential equations expressed in terms of fractional versions of the shift operator (with fractional parameter greater or less than one, in the two cases). As a consequence, the fractional generalization of some Gamma subordinated processes (i.e. the Variance Gamma, the Geometric Stable and the Negative Binomial) are introduced and the corresponding fractional differential equations are obtained.

研究动机与目标

• 开发基于时间变换Lévy过程的伽马子ordinator及其相关过程的分数阶推广。
• 针对 ν < 1 和 ν > 1 分别基于Caputo和Riemann-Liouville分数阶导数定义新的分数阶移位算子。
• 推导控制分数阶伽马过程一维分布的分数阶微分方程。
• 将该框架扩展至下位过程，包括方差伽马、几何稳定和负二项分布过程，并推导其分数阶动力学。
• 建立所得分数阶过程的Lévy符号，确认其在 ν > 1 时的Lévy过程结构。

提出的方法

• 定义两个分数阶伽马过程：ν < 1 时为 Γν(t) = Γ(ℒν(t))，ν > 1 时为 Ḡν(t) = Γ(𝒜1/ν(t))，分别使用逆子ordinator和稳定子ordinator。
• 针对 ν < 1 使用Caputo分数阶导数引入分数阶移位算子 𝒪c,xν，针对 ν > 1 使用右向Riemann-Liouville导数引入算子 𝒪̄c,xν。
• 通过将分数阶移位算子作用于其转移密度，推导出 Γν 和 Ḡν 密度的分数阶微分方程。
• 通过将布朗运动或复合泊松过程与分数阶伽马过程复合，将相同框架应用于下位过程。
• 利用下位原理推导出所得分数阶过程的特征函数和Lévy符号。
• 通过分数阶移位算子建立分数阶微分方程与过程无穷小生成元之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过时间变换Lévy过程将标准伽马子ordinator推广为分数阶版本？
• RQ2 哪些分数阶微分方程控制 ν < 1 和 ν > 1 时分数阶伽马过程的转移密度？
• RQ3 基于Caputo和Riemann-Liouville导数的分数阶移位算子如何与分数阶伽马过程的动力学相关联？
• RQ4 在分数阶时间变换下，方差伽马、几何稳定和负二项分布过程的分布满足哪些分数阶Fokker-Planck型方程？
• RQ5 在何种条件下分数阶下位过程仍为Lévy过程，其Lévy符号为何？

主要发现

• 分数阶伽马过程 Γν(t) 的密度满足分数阶微分方程 𝒪−1,tνfΓν(z,t) = −1/p fΓν(z,t) + 1/p fΓν(z−1,t)，其中 ν < 1。
• 分数阶伽马过程 Ḡν(t) 的密度满足分数阶微分方程 𝒪̄−1,tνfḠν(z,t) = −1/p fḠν(z,t) + 1/p fḠν(z−1,t)，其中 ν > 1。
• 分数阶方差伽马过程 Xν(t) = B(Γν(t)) 满足分数阶微分方程 𝒪−1,tνqkν(t) = 1/2 qkν(t) − 1/2 qk−1ν(t)，其中 ν < 1。
• 分数阶负二项分布过程 Mν(t) = M(Ḡν(t)) 满足分数阶微分方程 𝒪̄−1,tνq̄kν(t) = 1/p q̄kν(t) − (1−p)/p q̄k−1ν(t)，其中 ν > 1。
• 当 ν > 1 时，分数阶方差伽马、几何稳定和负二项分布过程均为Lévy过程，其Lévy符号分别为 η(t) = −[log(1 + u²/2)]^{1/ν}、η(t) = −[log(1 + (−iu)^α)]^{1/ν} 和 η(t) = −[log((1−(1−p)e^{iu})/p)]^{1/ν}。
• 分数阶移位算子 𝒪c,xν 和 𝒪̄c,xν 将经典移位算子 e^{cDx} 推广至分数阶，从而能够推导出转移密度的分数阶Fokker-Planck方程。