[论文解读] Fractional Generalized KYP Lemma for Fractional Order System within Finite Frequency Range

Xiaogang Zhu, Jun‐Guo Lu|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Advanced Control Systems Design被引用 4

一句话总结

本文提出了分数阶广义KYP（FGKYP）引理，将经典GKYP引理扩展至分数阶系统（FOS）的有限频带范围分析。通过利用S-过程和矩阵不等式技术，建立了基于线性矩阵不等式（LMIs）的L∞和H∞范数条件，实现了针对FOS在指定频带内的凸优化分析与控制设计，分别针对0 < ν ≤ 1和1 < ν < 2给出了不同的公式化表达。

ABSTRACT

The celebrated GKYP is widely used in integer-order control system. However, when it comes to the fractional order system, there exists no such tool to solve problems. This paper prove the FGKYP which can be used in the analysis of problems in fractional order system. The $H_\infty$ and $L_\infty$ of fractional order system are analysed based on the FGKYP.

研究动机与目标

• 为分数阶系统（FOS）开发有限频带分析工具，因为现有广义KYP（GKYP）方法仅适用于整数阶系统。
• 通过实现有限频带范围分析，弥合FOS中频域性能要求与时域控制设计之间的差距。
• 利用基于LMIs的凸优化方法，建立FOS的L∞和H∞范数的充分必要条件。
• 为适用于分数阶在(0,1]和(1,2)范围内的FGKYP提供不同的公式化表达，以反映不同的系统动态特性。
• 通过数值示例验证理论结果，展示所提出LMIs的正确性与局限性。

提出的方法

• 利用S-过程将有限频带范围内的频域不等式转化为矩阵不等式。
• 通过构建包含正定矩阵U和频率相关加权函数的李雅普诺夫型不等式，推导出FOS的L∞范数的FGKYP引理。
• 针对0 < ν ≤ 1的FOS，推导出H∞范数的矩阵不等式条件，涉及sin(πν/2)和一个松弛矩阵U。
• 通过定义关于实轴对称的复频域区域Ω并应用最大模原理，将H∞条件推广至1 < ν < 2的情形。
• 采用实LMI重构技术，使标准凸优化工具（如MATLAB的LMI工具箱）能够实现数值求解。
• 通过数值求解推导出的LMIs并与传递函数的奇异值图进行比较，验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义KYP引理能否被扩展至分数阶系统，以实现有限频带范围分析？
• RQ2 在指定有限频带范围内，分数阶系统的L∞范数的必要与充分条件是什么？
• RQ3 在有限频域中，分数阶0 < ν ≤ 1与1 < ν < 2的H∞范数条件有何不同？
• RQ4 所提出的FGKYP引理能否通过标准LMI求解器实现凸优化求解？
• RQ5 理论LMIs与实际系统性能相比如何？通过数值示例加以验证。

主要发现

• FGKYP引理被证明对FOS在有限频带范围内的L∞范数分析是必要且充分的，其对应的LMI条件（43）可被数值求解。
• 对于0 < ν ≤ 1，H∞范数条件由涉及jUB sin(πν/2)的LMI（66）给出，若该LMI可行，则可保证H∞ < δ。
• 对于1 < ν < 2，H∞条件通过复频域区域Ω和最大模原理推导得出，得到一个结构相似但参数化不同的LMI（72）。
• 数值示例1确认在[0, 100]范围内L∞范数小于0.77，且LMI（43）求得的U和V满足L∞ < 0.9，验证了定理的正确性。
• 当δ = 0.6 < 0.77时，LMI（43）无法求解，确认δ必须超过实际L∞范数才能保证可行性。
• 示例2表明，H∞ < 9.2可通过LMI（66）验证，但H∞ < 1.6无法满足LMI条件，正确反映了系统的实际H∞范数。