[论文解读] Fractional gradient and its application to the fractional advection equation

Mirko D’Ovidio, Roberto Garra|arXiv (Cornell University)|May 19, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于单位球面上分数阶方向导数加权积分的新型分数阶梯度算子，实现了广义分数阶向量微积分。该框架被应用于d维分数阶对流-弥散方程，推导出确定性和随机解，并通过一种新的Lévy-Khinchine公式将无穷小生成元与多维Lévy过程联系起来。

ABSTRACT

In this paper we provide a definition of fractional gradient operators, related to directional derivatives. We develop a fractional vector calculus, providing a probabilistic interpretation and mathematical tools to treat multidimensional fractional differential equations. A first application is discussed in relation to the d-dimensional fractional advection-dispersion equation. We also study the connection with multidimensional Lévy processes.

研究动机与目标

• 基于分数阶方向导数，发展一个全面的分数阶向量微积分框架。
• 通过单位球面上的混合测度定义广义分数阶梯度算子。
• 将分数阶梯度应用于d维分数阶对流-弥散方程，同时给出确定性和随机解。
• 为多维Lévy过程建立一个新的Lévy-Khinchine公式，其中涉及分数阶梯度。
• 将二阶方向导数的分数阶幂与奇异积分表示及Riesz型算子联系起来。

提出的方法

• 将分数阶梯度定义为单位球面上分数阶方向导数的加权积分：$\nabla^\beta_M f(\mathbf{x}) = \int_{||\boldsymbol{\theta}||=1} \boldsymbol{\theta} D^\beta_{\boldsymbol{\theta}} f(\mathbf{x}) M(d\boldsymbol{\theta})$。
• 利用傅里叶变换表达分数阶梯度的作用：$\widehat{\nabla^\beta_M f}(\mathbf{k}) = \int_{||\boldsymbol{\theta}||=1} \boldsymbol{\theta} (-i\mathbf{k}\cdot\boldsymbol{\theta})^\beta \widehat{f}(\mathbf{k}) M(d\boldsymbol{\theta})$。
• 引入分数阶散度算子 $\mathbb{D}^\alpha_M f(\mathbf{x}) = \int_{||\boldsymbol{\theta}||=1} D^\alpha_{\boldsymbol{\theta}} f(\mathbf{x}) M(d\boldsymbol{\theta})$，作为广义分数阶拉普拉斯算子。
• 利用分数阶梯度构造多维Lévy过程无穷小生成元的新Lévy-Khinchine公式。
• 推导出二阶方向导数分数阶幂的奇异积分表示：$-((-\boldsymbol{\theta}\cdot\nabla)^2)^\alpha f(\mathbf{x}) = C(\alpha) \int_{\mathbb{R}^d} \frac{f(\mathbf{y}) - f(\mathbf{x})}{|\boldsymbol{\theta}\cdot(\mathbf{y}-\mathbf{x})|^{2\alpha+1}} d\mathbf{y}$。
• 通过次序化方法构造分数阶对流方程的随机解：$u(\mathbf{x},t) = \int_0^\infty h_\alpha(s,t) P_s f(\mathbf{x}) ds = e^{-t(-(-\boldsymbol{\theta}\cdot\nabla)^2)^\alpha} f(\mathbf{x})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在多维空间中利用分数阶方向导数构建一致的分数阶向量微积分？
• RQ2 所提出的分数阶梯度在多维Lévy过程中的概率解释是什么？
• RQ3 分数阶梯度如何实现d维分数阶对流-弥散方程的广义表述？
• RQ4 二阶方向导数的分数阶幂与奇异积分算子之间有何联系？
• RQ5 能否通过次序化和转移半群方法，为分数阶对流型方程推导出随机解？

主要发现

• 分数阶梯度算子被定义为单位球面上分数阶方向导数的加权积分，其中混合测度 $M(d\boldsymbol{\theta})$ 允许构造广泛类别的分数阶微分算子。
• 分数阶梯度的傅里叶变换为 $\widehat{\nabla^\beta_M f}(\mathbf{k}) = \int_{||\boldsymbol{\theta}||=1} \boldsymbol{\theta} (-i\mathbf{k}\cdot\boldsymbol{\theta})^\beta \widehat{f}(\mathbf{k}) M(d\boldsymbol{\theta})$，从而支持谱分析。
• 分数阶散度算子 $\mathbb{D}^\alpha_M f(\mathbf{x})$ 广义化了分数阶拉普拉斯算子，并作为分数阶扩散生成元起作用。
• 为多维Lévy过程的无穷小生成元推导出一个新的Lévy-Khinchine公式，将分数阶梯度与重尾跳跃的复合泊松过程联系起来。
• 二阶方向导数的分数阶幂 $(-(-\boldsymbol{\theta}\cdot\nabla)^2)^\alpha$ 具有奇异积分表示，其核为 $C(\alpha)/|\boldsymbol{\theta}\cdot(\mathbf{y}-\mathbf{x})|^{2\alpha+1}$，其中 $C(\alpha) = \frac{1}{\pi} \Gamma(2\alpha+1) \sin(\pi\alpha)$。
• 通过次序化方法构造了分数阶对流方程的随机解：$u(\mathbf{x},t) = e^{-t(-(-\boldsymbol{\theta}\cdot\nabla)^2)^\alpha} f(\mathbf{x})$，该解与由转移半群和Frobenius-Perron算子导出的解一致。