[论文解读] Fractional Hardy-Sobolev elliptic problems

Jianfu Yang, Xiaohui Yu|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过Caffarelli-Silvestre扩展方法，将涉及分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}$ 的非局部分数阶Hardy-Sobolev椭圆问题转化为加权Sobolev空间中的局部问题，证明了在存在奇异低阶项 $\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^s}$ 的情况下，非平凡解的存在性。关键贡献在于：在最优的指数与区域几何条件下，利用变分法和山路定理，证明了在亚临界、Sobolev临界及Hardy-Sobolev临界情形下解的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we study the following singular nonlinear elliptic problem \begin{equation}\label{eq:1} \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle (-Δ)^{\frac α2} u=λ|u|^{r-2}u+μ\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^{s}}\quad &{ m in }\quad Ω, \\ \\ u=0 &{ m on }\quad \partialΩ, \end{array} ight. \end{equation} where $Ω$ is a smooth bounded domain in $\mathbb R^N$ with $0\in Ω$, $λ,μ>0,0

研究动机与目标

• 研究具有Hardy-Sobolev型非线性的奇异分数阶椭圆问题的非平凡解的存在性。
• 将经典的Brezis-Nirenberg与Hardy-Sobolev结果推广至 $0 < \alpha < 2$ 的分数阶拉普拉斯设定下。
• 利用变分法分析亚临界、Sobolev临界与Hardy-Sobolev临界情形下的问题。
• 通过集中紧致性技术与扩展方法，克服相关能量泛函中紧致性的缺失。
• 建立依赖于指数 $r$, $q$, $s$, 与 $\alpha$ 相互作用的精确存在性条件。

提出的方法

• 利用Caffarelli-Silvestre扩展，将非局部分数阶问题转化为上半空间 $\mathcal{C}_\Omega = \Omega \times (0,\infty)$ 中的局部退化椭圆问题。
• 在加权Sobolev空间 $H^{1}_{0,L}(\mathcal{C}_\Omega)$ 上定义能量泛函 $I(w) = \frac{1}{2}\int_{\mathcal{C}_\Omega} y^{1-\alpha}|\nabla w|^2 \, dx\,dy - \frac{\lambda}{r}\int_\Omega |w|^r \,dx - \frac{\mu}{q}\int_\Omega \frac{|w|^q}{|x|^s} \,dx$。
• 应用山路定理寻找 $I(w)$ 的临界点，需验证低于与最佳常数 $S_{s,\alpha}^E$ 相关的临界水平的Palais-Smale条件。
• 利用已知的极值函数 $U_\varepsilon(x) = \varepsilon^{\frac{N-\alpha}{2}}(\varepsilon^2 + |x|^2)^{-\frac{N-\alpha}{2}}$ 及其调和扩展 $w_\varepsilon$ 构造测试函数。
• 通过 $u_\varepsilon$ 与 $w_\varepsilon$ 的范数和积分的渐近估计，证明山路水平位于临界阈值 $c_\infty = \frac{\alpha - s}{2(N - s)}(S_{s,\alpha}^E)^{\frac{N-s}{\alpha-s}}$ 之下。
• 通过反证法证明 $(PS)_c$ 条件，使用Brezis-Lieb引理与精确的分数阶Hardy-Sobolev不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\lambda$, $\mu$, $r$, $q$, $s$, $\alpha$, 与 $N$ 的何种条件下，分数阶Hardy-Sobolev问题存在非平凡解？
• RQ2 Hardy型奇点 $|x|^{-s}$ 与分数阶Sobolev指数 $2_\alpha^*(s)$ 之间的相互作用如何影响解的存在性？
• RQ3 能否证明山路水平严格低于临界阈值 $c_\infty$，以确保Palais-Smale条件成立？
• RQ4 扩展方法在恢复紧致性并使非局部设定下的变分分析成为可能方面起到何种作用？
• RQ5 测试函数 $u_\varepsilon$ 及其扩展 $w_\varepsilon$ 的渐近行为如何影响能量估计与存在性证明？

主要发现

• 对所有 $\lambda > 0$, $\mu > 0$, $0 < s \leq \alpha < 2$, 且 $\Omega$ 为包含原点的光滑有界区域 $\mathbb{R}^N$，该问题至少存在一个非平凡弱解。
• 在最优条件下，解的存在性在亚临界情形（$q < 2_\alpha^*(s)$）、Sobolev临界情形（$q = 2_\alpha^*(s)$）以及Hardy-Sobolev临界情形（$q = 2_\alpha^*(s)$）下均被确立。
• 山路水平 $c$ 满足 $c < \frac{\alpha - s}{2(N - s)}(S_{s,\alpha}^E)^{\frac{N-s}{\alpha-s}}$，确保Palais-Smale条件的有效性。
• 当 $N > 2\alpha$ 时，存在性成立的条件为 $N > \alpha + \frac{2\alpha}{r}$；当 $N = 2\alpha$ 时，存在性在误差估计中包含对数修正下成立。
• 证明依赖于精确的分数阶Hardy-Sobolev不等式，以及最佳常数 $S_{s,\alpha}^E$ 在整个空间 $\mathbb{R}^{N+1}_+$ 上由极值函数 $U_\varepsilon$ 的扩展所实现的事实。
• 扩展方法确保了 $H^{\frac{\alpha}{2}}_0(\Omega)$ 与 $H^{1}_{0,L}(\mathcal{C}_\Omega)$ 之间的等距同构，使得标准变分工具可应用于局部问题。