[论文解读] Fractional Helly theorem for the diameter of convex sets

Silouanos Brazitikos|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文建立了一项关于凸集直径的新定量 Helly 型定理，表明对于任意有限个具有非空内部交的 ℝⁿ 中的凸体，存在一个大小为 O(n) 的子族，其交集包含于全交集的缩放版本中——具体而言，位于原始集合的 O(n^{3/2}) 倍之内。在对称情形下，该界进一步优化为 O(√n)，实现了与维度的多项式依赖关系，并解决了关于 Helly 型设定下直径控制的一个猜想。

ABSTRACT

We provide a new quantitative version of Helly's theorem: there exists an absolute constant $α>1$ with the following property: if $\{P_i: i\in I\}$ is a finite family of convex bodies in ${\mathbb R}^n$ with ${ m int}\left (\bigcap_{i\in I}P_i ight ) eq\emptyset $, then there exist $z\in {\mathbb R}^n$, $s\leq αn$ and $i_1,\ldots i_s\in I$ such that \begin{equation*} z+P_{i_1}\cap\cdots\cap P_{i_s}\subseteq cn^{3/2}\left(z+\bigcap_{i\in I}P_i ight), \end{equation*} where $c>0$ is an absolute constant. This directly gives a version of the "quantitative" diameter theorem of Bárány, Katchalski and Pach, with a polynomial dependence on the dimension. In the symmetric case the bound $O(n^{3/2})$ can be improved to $O(\sqrt{n})$.

研究动机与目标

• 建立 Helly 定理在凸集直径上的定量版本，解决‘大直径’是否为凸集的 Helly 型性质的问题。
• 通过实现与维度的多项式依赖关系，改进先前关于直径控制的指数界。
• 解决 Bárány、Katchalski 和 Pach 提出的猜想，即子交集的直径是否可被 O(√n) 而非 O((cn)^{n/2}) 控制。
• 将定量 Helly 定理的框架从体积推广至直径，采用几何与谱技术。
• 在最小交集假设下，为凸集交集的直径提供显式的、与维度相关的界。

提出的方法

• 利用 Barvinok（2005）提出的一个引理，基于交错族方法，将凸几何与谱图论联系起来。
• 应用 Batson、Spielman 和 Srivastava（2012）关于图稀疏化的定理，以控制 ℝⁿ 中有限点集的几何结构。
• 采用凸体及其对偶体的 Löwner 位置概念，将问题转化为对正定矩阵的谱控制。
• 利用 John–Löwner 量体与支撑函数分析，推导有限点集凸包的覆盖估计。
• 应用文献 [3] 中的约化方案，进一步减少子族中集合的数量，同时保持直径界不变。
• 依赖于对偶体与其最小体积椭球接触点的性质，可导出具有受控交集几何结构的子族。

实验结果

研究问题

• RQ1 子交集的直径是否可被 n 的多项式函数有界，而非指数或超多项式函数？
• RQ2 ‘交集具有大直径’这一性质是否为凸集的 Helly 型性质？若是，控制直径所需的最少集合数是多少？
• RQ3 Bárány、Katchalski 和 Pach 的 O((cn)^{n/2}) 界在对称情形下是否可改进为 O(√n)？
• RQ4 当全交集的直径为 1 时，子交集直径的最佳可能维度依赖关系为何？
• RQ5 是否可将子族中集合的数量减少至 O(n)，同时保持多项式直径界？

主要发现

• 对于任意有限个具有非空内部交的 ℝⁿ 中的凸体，存在一个大小至多为 αn（α > 1 为绝对常数）的子族，使得这些集合的交集包含于全交集直径的 O(n^{3/2}) 倍的集合中。
• 在对称情形下，该界优化为 O(√n)，且常数显式依赖于参数 d > 1，表示为 γ_d = (√d + 1)/(√d − 1)，表明该界是紧的。
• 该结果为子交集的直径提供了与维度的多项式依赖关系，优于先前工作的指数界。
• 证明方法依赖于谱方法与凸几何，特别是最小体积椭球与对偶体接触点的运用。
• 该方法给出了具有显式常数的直径定量 Helly 定理，且界在绝对常数范围内是紧的。
• 该结果表明，直径控制问题满足具有多项式维度依赖的 Helly 型性质，以定性形式证实了一个猜想。