[论文解读] Fractional Helmholtz and fractional wave equations with Riesz-Feller and generalized Riemann-Liouville fractional derivatives

Ram K. Saxena, Tomovski, Zivorad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 49被引用 10

一句话总结

本文通过Riesz-Feller和广义Riemann-Liouville分数阶导数，推导了二维空间中分数阶Helmholtz方程和波动方程的解析解。利用Fourier-Laplace变换方法，解以Mittag-Leffler函数、Fox H函数及积分算子的形式表示，提供了一个统一的框架，推广了经典方程，并将先前已知结果作为特例恢复。

ABSTRACT

The objective of this paper is to derive analytical solutions of fractional order Laplace, Poisson and Helmholtz equations in two variables derived from the corresponding standard equations in two dimensions by replacing the integer order partial derivatives with fractional Riesz-Feller derivative and generalized Riemann-Liouville fractional derivative recently defined by Hilfer. The Fourier-Laplace transform method is employed to obtain the solutions in terms of Mittag-Leffler functions, Fox $H$-function and an integral operator containing a Mittag-Leffler function in the kernel. Results for fractional wave equation are presented as well. Some interesting special cases of these equations are considered. Asymptotic behavior and series representation of solutions are analyzed in detail. Many previously obtained results can be derived as special cases of those presented in this paper.

研究动机与目标

• 通过用分数阶Riesz-Feller和广义Riemann-Liouville导数替代整数阶导数，推广二维空间中的经典Laplace、Poisson和Helmholtz方程。
• 为涉及空间与时间混合分数阶导数的分数阶偏微分方程，建立统一的解析求解框架。
• 通过引入偏度和复合分数阶导数，扩展现有分数阶扩散与波动方程的研究结果。
• 分析这些广义分数阶方程解的渐近行为及级数表示。
• 证明先前在分数阶PDE中推导的结果可作为所提通用公式的特例被恢复。

提出的方法

• 采用Fourier-Laplace变换方法求解具有混合阶空间-时间导数的分数阶微分方程。
• 对第一个空间变量使用Riesz-Feller导数，其通过依赖于偏度参数θ的复相位因子傅里叶变换定义。
• 对第二个变量应用广义Riemann-Liouville分数阶导数（Hilfer-复合型），通过参数化分数阶阶数引入记忆效应。
• 推导出以Mittag-Leffler函数和Fox H函数表示的解，这些函数在分数阶微积分中推广了经典特殊函数。
• 利用Mellin-Barnes积分表示和积分变换，表达解并分析其渐近行为。
• 应用Mellin余弦变换，推导Fox H函数解的积分表示和渐近展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在两个变量中，利用混合Riesz-Feller与广义Riemann-Liouville导数，构建分数阶Helmholtz和波动方程？
• RQ2 在不同边界条件和源项条件下，这些方程的解析解如何表现？
• RQ3 解的渐近行为如何？其以特殊函数表示的级数展开形式为何？
• RQ4 所推导的解在何种意义上推广了经典Laplace、Poisson和Helmholtz方程？
• RQ5 先前发表的关于分数阶扩散与波动方程的结果，能否作为该广义框架下的特例被恢复？

主要发现

• 分数阶Laplace和Poisson方程的解以Mittag-Leffler函数和Fox H函数表示，明确依赖于分数阶阶数和偏度参数。
• 分数阶Helmholtz方程的解包含Fox H函数及具有Mittag-Leffler核的积分算子，适用于多种边界和源条件。
• 通过Fox H函数在大|z|时的行为，推导了解的渐近展开，显示指数衰减被幂律项调制。
• 通过Mellin-Barnes积分推导了解的级数表示，揭示了收敛条件和函数结构。
• 对具有Riesz-Feller空间导数和Hilfer-复合时间导数的时变分数阶波动方程进行了分析，扩展了异常扩散与波传播中的已知模型。
• 大量先前发表的分数阶PDE结果被证明是本文所提通用解的特例，证实了其一致性与广泛适用性。