[论文解读] Fractional Leibniz integral rules for Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives and their applications

Ismail T. Huseynov, Arzu Ahmadova+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用 13

一句话总结

本文为一般阶数 $ n-1 < \alpha \leq n $ 的黎曼-刘维尔和柯普托分数阶导数建立了分数阶莱布尼茨积分法则，使能够通过代入法验证非齐次多术语分数阶微分方程的候选解。主要贡献在于利用分数阶格林函数和双变量马特格勒夫-莱夫勒函数，推导出广义Bagley-Torvik方程和振子方程的显式解析解，并通过新积分法则加以验证。

ABSTRACT

In recent years, the theory for Leibniz integral rule in the fractional sense has not been able to get substantial development. As an urgent problem to be solved, we study a Leibniz integral rule for Riemann-Liouville and Caputo type differentiation operators with general fractional-order of $n-1

研究动机与目标

• 解决在 $ \alpha \in (0,1) $ 之外的一般分数阶导数下，分数阶莱布尼茨积分法则系统性发展的不足。
• 推导适用于黎曼-刘维尔和柯普托导数（阶数 $ n-1 < \alpha \leq n $）的广义分数阶莱布尼茨法则。
• 通过积分号下微分法，为非齐次多术语分数阶微分方程的候选解提供严格的验证框架。
• 利用分数阶格林函数方法，推导广义Bagley-Torvik方程和振子方程的显式解析解。
• 建立以双变量马特格勒夫-莱夫勒函数表示的解与已知特殊函数（如Fox-Wright函数和多参数马特格勒夫-莱夫勒函数）之间的联系。

提出的方法

• 推导适用于任意阶数 $ \alpha \in (n-1, n] $ 的黎曼-刘维尔和柯普托导数的广义分数阶莱布尼茨积分法则，扩展了经典结果。
• 将分数阶莱布尼茨法则应用于通过代入法验证多术语分数阶微分方程的候选解。
• 利用分数阶格林函数构造广义Bagley-Torvik方程和振子方程的显式解。
• 在积分表示中使用双变量马特格勒夫-莱夫勒函数 $ E_{2,1,2} $、$ E_{2,1,1} $ 等作为基本解核。
• 利用拉普拉斯积分变换技术，推导并验证以马特格勒夫-莱夫勒型函数表示的解。
• 应用二项式系数的帕斯卡法则，简化并验证验证过程中高阶导数表达式的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将积分号下微分的经典莱布尼茨法则推广至任意阶数 $ \alpha \in (n-1, n] $ 的分数阶导数？
• RQ2 黎曼-刘维尔和柯普托导数在 $ \alpha \in (0,1) $ 之外的分数阶莱布尼茨积分法则的显式形式是什么？
• RQ3 所提出的分数阶莱布尼茨法则是否可用于验证非齐次多术语分数阶微分方程的解析解？
• RQ4 广义Bagley-Torvik方程和振子方程的显式解析解在双变量马特格勒夫-莱夫勒函数下的表达形式是什么？
• RQ5 所推导的解与已知特殊函数（如Fox-Wright函数和多参数马特格勒夫-莱夫勒函数）之间有何关系？

主要发现

• 本文推导出适用于阶数 $ \alpha \in (n-1, n] $ 的黎曼-刘维尔和柯普托导数的广义分数阶莱布尼茨积分法则，扩展了以往仅限于 $ \alpha \in (0,1) $ 的结果。
• 利用分数阶格林函数和双变量马特格勒夫-莱夫勒函数 $ E_{2,1,2} $，获得了广义Bagley-Torvik方程的显式解析解。
• 利用新提出的分数阶莱布尼茨法则验证了振子方程的解，确认其与微分方程结构的一致性。
• 所推导的解被证明与Fox-Wright型函数以及双参数马特格勒夫-莱夫勒函数的 $ l $ 阶导数一致，建立了与已知特殊函数的联系。
• 通过代入法验证确认，候选解 $ y(t) = \int_0^t (t-s)E_{2,1,2}(\lambda(t-s)^2, \mu(t-s))g(s)ds $ 满足二阶分数阶微分方程。
• 该方法成功通过直接在积分号下使用新分数阶莱布尼茨法则进行求导，包括边界项和导数恒等式，验证了解的正确性。