[论文解读] Fractional Poisson Bracket

Alireza Khalili Golmankhaneh|ArXiv.org|Jul 26, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于Caputo导数的分数阶泊松括号形式化方法，用于哈密顿力学，将经典泊松括号推广至分数阶系统。推导出分数阶哈密顿-雅可比方程与量子波动方程，通过两个实例验证了该形式化与分数阶欧拉-拉格朗日方程及哈密顿方程的一致性：一个在均匀电场中的分数阶振子，以及一个具有记忆力的耗散分数阶振子。

ABSTRACT

In the present paper fractional Hamilton-Jacobi equation has been derived for dynamical systems involving Caputo derivative. Fractional Poisson-bracket is introduced. Further Hamilton's canonical equations are formulated and quantum wave equation corresponds to the fractional Hamilton-Jacobi equation is suggested. Illustrative examples have been worked out to explain the formalism.

研究动机与目标

• 将经典哈密顿力学推广至基于Caputo导数的分数阶系统。
• 解决分数阶力学中缺乏一致泊松括号形式化的问题。
• 从包含Caputo导数的拉格朗日量推导出分数阶哈密顿-雅可比方程。
• 提出一个与分数阶哈密顿-雅可比形式化一致的分数阶量子波动方程。
• 通过涉及非保守力的物理实例，验证该形式化的一致性。

提出的方法

• 从包含左、右Caputo导数的拉格朗日量推导出分数阶哈密顿-雅可比方程。
• 通过左、右Caputo导数引入广义分数阶泊松括号。
• 利用分数阶泊松括号建立分数阶哈密顿正则方程。
• 通过将分数阶哈密顿-雅可比方程中的相位函数代入类薛定谔形式，提出分数阶量子波动方程。
• 将该形式化应用于两个物理系统：受均匀电场作用的分数阶振子，以及具有记忆力的耗散振子。
• 通过证明分数阶泊松括号可重现与欧拉-拉格朗日方法及哈密顿方法相同的运动方程，验证其一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将泊松括号形式化推广至使用Caputo导数的分数阶动力系统？
• RQ2 从包含Caputo导数的拉格朗日量推导出的分数阶哈密顿-雅可比方程的形式是什么？
• RQ3 分数阶泊松括号在分数阶设定下如何重现哈密顿正则方程？
• RQ4 能否从分数阶哈密顿-雅可比方程推导出一致的分数阶量子波动方程？
• RQ5 推导出的运动方程是否与分数阶欧拉-拉格朗日方程及哈密顿形式化结果一致？

主要发现

• 分数阶泊松括号定义为 $[x, H_{FO}]_{FP} = {}_{a}^{C}D_{t}^{eta}x$ 与 $[p_{eta}, H_{FO}]_{FP} = -{}_{t}D_{b}^{eta}p_{eta}$，在分数阶情形下重现了哈密顿方程。
• 分数阶哈密顿-雅可比方程是分数阶量子波动方程在经典极限（$ar{h} = 0$）下的结果。
• 对于在均匀电场中的分数阶振子，运动方程 $m_{eta}{}_{t}D_{b}^{eta}{}_{a}^{C}D_{t}^{eta}x = kx + qE$ 通过欧拉-拉格朗日方法与分数阶泊松括号方法均一致地重现。
• 分数阶量子波动方程为 $(\frac{1}{2m_{\beta}}(-i\bar{h}\frac{\nu}{\nu\bar{x}_{\beta}})^2 + \frac{1}{2}kx^2 + qEx)\rho = i\bar{h}\frac{\nu\rho}{\nu t}$，其中相空间波函数为 $\rho = A e^{i\bar{S}_{FO}/\bar{h}}$。
• 对于耗散分数阶振子，广义欧拉-拉格朗日方程 $-kx + m_{\beta}{}_{t}D_{b}^{ \beta}{}_{a}^{C}D_{t}^{ \beta}x - i\frac{\nu}{(-1)^{\nu/2}}{}_{a}D_{t}^{\nu/2}{}_{t}^{C}D_{b}^{\nu/2}x = 0$ 被推导并由分数阶泊松括号形式化确认。
• 该形式化确保了分数阶哈密顿、泊松括号与量子波动方程框架之间的一致性，验证了其内在自洽性。