[论文解读] Fractional powers of non-negative operators in Banach spaces via the Dirichlet-to-Neumann operator

Jan Meichsner, Christian Seifert|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过一个Bessel型微分方程，建立了巴拿赫空间中非稠密定义的非负算子的分数次幂与Dirichlet-to-Neumann算子之间的联系。在对算子和初值数据施加较弱假设的条件下，证明了当 $ \beta \in (0,1) $ 时，分数次幂 $ A^\beta $ 与由常微分方程 $ u''(t) + \frac{1-2\beta}{t}u'(t) = Au(t) $ 的解所关联的Dirichlet-to-Neumann算子的闭包完全一致。

ABSTRACT

We consider fractional powers of non-densely defined non-negative operators in Banach spaces defined by means of the Balakrishnan operator. Under mild assumptions on the operator we show that the fractional powers can partially be obtained by a generalised Dirichlet-to-Neumann operator for a Bessel-type differential equation.

研究动机与目标

• 将非负算子分数次幂的表征从稠密定义生成元的情形推广到巴拿赫空间中更一般的非稠密定义算子情形。
• 为这类算子建立Balakrishnan分数阶微积分与Dirichlet-to-Neumann算子方法之间的严格联系。
• 证明通过Bessel型常微分方程解的加权法向导数极限所定义的Dirichlet-to-Neumann算子，与分数次幂 $ A^\alpha $ 至多相差一个常数。
• 阐明Dirichlet-to-Neumann算子的定义域及其与复插值空间和 $ A^\alpha $ 定义域的关系。

提出的方法

• 利用Balakrishnan在巴拿赫空间中对非负算子的算子微积分方法，形式化定义分数次幂 $ A^\alpha $。
• 将巴拿赫空间 $ X $ 中的Bessel型常微分方程 $ u''(t) + \frac{1-2\alpha}{t}u'(t) = Au(t) $，初值条件为 $ u(0) = x $，作为调和延拓的模型进行分析。
• 将Dirichlet-to-Neumann算子 $ \overline{T_\alpha} $ 定义为极限 $ \lim_{t\to 0^+} -t^{1-2\alpha}u'(t) $ 的闭包，该定义推广了经典Neumann迹。
• 利用修正贝塞尔函数 $ K_\alpha $ 的积分表示与性质，计算乘法算子情形下该常微分方程的显式解。
• 应用复插值理论与谱论，将 $ \overline{T_\alpha} $ 的定义域与复插值空间 $ (X, \mathcal{D}(A))_{\alpha} $ 联系起来。
• 通过分析Bessel函数在 $ t = 0 $ 附近的渐近展开，证明该迹极限的一致收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在巴拿赫空间中，非稠密定义的非负算子的分数次幂 $ A^\alpha $ 能否通过Dirichlet-to-Neumann算子来表征？
• RQ2 若 $ u $ 是Bessel型常微分方程的解，则极限 $ \lim_{t\to 0^+} -t^{1-2\alpha}u'(t) $ 是否在相差一个常数的意义下等于分数次幂 $ A^\alpha $？
• RQ3 Dirichlet-to-Neumann算子的定义域与复插值空间 $ (X, \mathcal{D}(A))_{\alpha} $ 之间有何关系？
• RQ4 Bessel型常微分方程的解 $ u $ 在相关函数空间中是否唯一？其是否能保证迹收敛于 $ A^\alpha $？
• RQ5 精确常数 $ c_\alpha $ 是什么，使得 $ \overline{T_\alpha} = c_\alpha A^\alpha $？

主要发现

• 在对非负算子 $ A $ 施加较弱假设的条件下，当 $ \alpha \in (0,1) $ 时，分数次幂 $ A^\alpha $ 与Dirichlet-to-Neumann算子 $ \overline{T_\alpha} $ 一致，即 $ \overline{T_\alpha} = c_\alpha A^\alpha $。
• Dirichlet-to-Neumann算子 $ \overline{T_\alpha} $ 的定义域包含于复插值空间 $ (X, \mathcal{D}(A))_{\alpha} $ 中，且在附加正则性条件下，二者相等。
• 对于 $ C_b(\Omega) $ 上的乘法算子，常微分方程的解 $ u(t,x) $ 可通过修正贝塞尔函数显式给出，从而可直接计算迹极限。
• 极限 $ \lim_{t\to 0^+} -t^{1-2\alpha}u'(t) $ 点态收敛于 $ c_\alpha f(x)^\alpha g(x) $，并通过 $ K_\alpha $ 的渐近分析建立了其一致收敛性。
• 常数 $ c_\alpha $ 显式确定为 $ c_\alpha = \frac{2^{1-2\alpha} \Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(\alpha)} $，与文献中已知值一致。
• 当 $ \varepsilon \to 0^+ $ 时，$ (f+\varepsilon)^\alpha g \to f^\alpha g $ 在 $ C_b(\Omega) $ 中的收敛性，证实了 $ g \in \mathcal{D}(A^\alpha) $，从而支持了该算子的闭性。