[论文解读] Fractional Schrödinger-Poisson-Slater system in one dimension

Anna Rita Giammetta|arXiv (Cornell University)|May 12, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文建立了在一维分数阶薛定谔-泊松-斯莱特系统中，泊松方程内含分数阶拉普拉斯算子的局部与全局适定性。通过在 $L^2$ 和 $H^1$ 空间中使用 Strichartz 估计与压缩映射方法，证明了当 $γ ∈ (1,5)$ 且 $σ ∈ (0,1)$ 时解的存在性与唯一性，且当 $γ=3$ 且 $σ ≤ 1/2$ 时，在初始质量或能量较小的条件下可实现全局存在性。

ABSTRACT

In this paper we study local and global well-posedness of the following Cauchy problem: $$ \bigg \{ \begin{array}{rl} i\partial_tΨ+\frac{1}{2}Δ_{x}Ψ= A_0Ψ+α|Ψ|^{γ-1}Ψ, & (t,x)\in\R imes\R,\\ (-Δ_{x})^{σ/2}A_0= |Ψ|^2, & \\ Ψ(0,\cdot)=f, & \end{array} $$ with $σ\in(0,1)$, $α=\pm 1$, $1

研究动机与目标

• 建立一维分数阶薛定谔-泊松-斯莱特（FSPS）系统在非局部相互作用下（通过分数阶拉普拉斯算子实现）的局部与全局适定性。
• 在一般 $γ ∈ (1,5]$ 与 $σ ∈ (0,1)$ 条件下，分析 $L^2(\mathbb{R})$ 与 $H^1(\mathbb{R})$ 初始数据下的柯西问题。
• 通过使用拉普拉斯算子的分数阶幂，消除对 $A_0$ 在无穷远处边界条件的需求。
• 将适定性结果扩展至由 $(-\Delta)^{\sigma/2}$（$σ < 1$）建模的长程相互作用情形，该情形引入了分析上的挑战。

提出的方法

• 通过薛定谔群 $S(t) = e^{i\Delta t/2}$ 将 FSPS 系统重写为积分方程。
• 应用适用于可适配对 $(q,r)$ 的 Strichartz 估计，以在混合范数空间中控制解。
• 利用卷积估计与 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式，处理由分数阶泊松方程引起的非局部项 $A_0\Psi$。
• 在 $L^2$ 与 $H^1$ 空间中采用压缩映射方法，证明局部存在性与唯一性。
• 应用 $L^p-L^q$ 类似 Gronwall 不等式，控制增长并防止在 $L^4(0,T;L^\infty)$ 中出现爆破，条件为 $γ=3$ 且 $σ ≤ 1/2$。
• 利用 Gagliardo-Nirenberg 与能量估计，控制振荡速度 $θ(t)$，表明在有限能量或小质量条件下其不会爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $σ$ 与 $γ$ 条件下，一维分数阶薛定谔-泊松-斯莱特系统的柯西问题在 $L^2(\mathbb{R})$ 中存在唯一的局部解？
• RQ2 当 $γ=3$ 且 $σ ≤ 1/2$ 时，即使在 $A_0$ 于无穷远处无边界条件的情况下，是否仍可建立系统的全局存在性？
• RQ3 与经典 $(-\Delta)$ 情形相比，分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\sigma/2}$ 如何影响解的适定性与正则性？
• RQ4 初始质量或能量在防止聚焦情形（$α = -1$）中振荡速度 $θ(t)$ 爆破方面起到何种作用？
• RQ5 非局部项 $A_0\Psi$ 是否可与处理局部非线性项 $|\Psi|^{\gamma-1}\Psi$ 的相同框架下，通过 Strichartz 估计与卷积估计实现控制？

主要发现

• 对于 $f \in L^2(\mathbb{R})$ 且 $γ \neq 5$，存在 $T = T(\|f\|_{L^2}) > 0$ 与 $I_\gamma \subseteq (0,1)$，使得对任意可适配对 $(q,r)$，存在唯一的解 $\Psi \in C([0,T];L^2) \cap L^q([0,T];L^r)$。
• 当 $γ = 3$ 时，结果对所有 $σ ∈ (0,1/2]$ 成立，且在初始质量较小或能量有限的条件下可建立全局存在性。
• 对所有 $t \in (0,T)$，解满足 $\|\Psi\|_{L^4(0,t;L^\infty)} < \infty$，其有界性依赖于 $\|f\|_{L^2}$ 与 $σ$，确保该范数内无爆破。
• 若 $1 < \gamma < 5$ 且 $\sigma \in I_\gamma$，或 $γ = 5$ 且 $\|f\|_{L^2}$ 足够小，则振荡速度 $\theta(t) = \int_\mathbb{R} |\Psi|^2 \partial_t S \, dx$ 在所有 $t \in (0,T)$ 内保持有界。
• 通过分数阶泊松方程 $(-\Delta)^{\sigma/2}A_0 = |\Psi|^2$ 控制非局部项 $A_0\Psi$，其中 $A_0$ 利用 Hardy-Littlewood-Sobolev 与插值不等式进行估计。
• $L^p-L^q$ Gronwall 不等式被用于推导 $\|\Psi\|_{L^4(0,t;L^\infty)}$ 的显式界，表明当 $σ < 1/2$ 时，该界呈现关于时间的多项式增长。