[论文解读] Fractional Sobolev Spaces and Functions of Bounded Variation

Maı̈tine Bergounioux, Antonio Leaci+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文建立了 Riemann-Liouville 分数阶 Sobolev 空间 $W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ 与一维有界变差函数空间（BV）及特殊有界变差函数空间（SBV）之间的严格联系。证明了 $SBV \subset \bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}$，同时 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+} \setminus BV \neq \emptyset$，表明分数阶 Sobolev 空间严格包含 SBV，但不包含于 BV，因此 BV 是否完全包含于 $W^{s,1}_{RL,0+}$ 仍为开放问题。

ABSTRACT

We investigate the 1D Riemann-Liouville fractional derivative focusing on the connections with fractional Sobolev spaces, the space $BV$ of functions of bounded variation, whose derivatives are not functions but measures and the space $SBV$, say the space of bounded variation functions whose derivative has no Cantor part. We prove that $SBV$ is included in $W^{s,1} $ for every $s \in (0,1)$ while the result remains open for $BV$. We study examples and address open questions.

研究动机与目标

• 阐明 Riemann-Liouville 分数阶 Sobolev 空间与经典函数空间（如 $BV$ 和 $SBV$）之间的关系。
• 研究 $BV$ 函数是否属于分数阶 Sobolev 空间 $W^{s,1}_{RL,0+}$（$s\in(0,1)$），这是先前文献中遗留的问题。
• 提供示例与反例，以说明 $SBV$ 在 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}$ 中的严格包含关系，以及 $W^{s,1}_{RL,0+}$ 中存在不属于 $BV$ 的函数。
• 弥合局部点态 Riemann-Liouville 方法与全局 Gagliardo 型分数阶 Sobolev 框架之间的差距。
• 为未来在工程与成像应用中对分数阶导数的严格数学分析奠定基础，特别是使用 Caputo 导数的场景。

提出的方法

• 本文通过左侧行 Riemann-Liouville 分数阶导数（阶数 $s\in(0,1)$）定义 Riemann-Liouville 分数阶 Sobolev 空间 $W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$。
• 采用 Riemann-Liouville 积分表示来定义分数阶导数，并分析其在 $BV$ 和 $SBV$ 函数上的作用。
• 作者利用分布导数的概念及测度分解（Lebesgue 部分与 Cantor 部分）来表征 $SBV$ 函数为导数中不含 Cantor 部分的 $BV$ 函数。
• 构造显式示例：一个单调、连续但非 Hölder-连续的函数属于 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}$ 但不属于 $SBV$；以及一个处处不可微的 Weierstrass 型函数属于 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}$ 但不属于 $BV$，以证明严格包含关系。
• 比较 Riemann-Liouville 与 Gagliardo 定义的分数阶 Sobolev 空间，突出其本质差异——局部性与全局性，并讨论其在插值与 Besov 空间联系中的影响。
• 讨论 Riemann-Liouville 与 Caputo 导数之间的联系，表明由于两者已知的关系，前者的结论可转移至后者，尤其在具有物理解释的初值问题背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间 $SBV(a,b)$ 是否包含于交集 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ 中？若成立，其条件为何？
• RQ2 $BV(a,b) \subset \bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ 是否成立？还是存在 $BV$ 函数不在该交集中？
• RQ3 能否构造一个属于 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ 但不属于 $BV(a,b)$ 的函数，从而证明分数阶 Sobolev 空间严格大于 $BV$？
• RQ4 Riemann-Liouville 与 Gagliardo 定义的分数阶 Sobolev 空间之间有何关系，特别是在 $L^1$ 基础空间及其与 Besov 空间的联系方面？
• RQ5 Riemann-Liouville 分数阶导数在具有奇异或非光滑导数的函数（如 $BV \setminus SBV$ 中的函数）上的精确行为如何？

主要发现

• $SBV(a,b)$ 严格包含于 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$，即所有特殊有界变差函数在 Riemann-Liouville 定义下均属于所有阶数 $s\in(0,1)$ 的分数阶 Sobolev 空间。
• 存在一个函数属于 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ 但不属于 $BV(a,b)$，证明了 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+} \setminus BV \neq \emptyset$，即分数阶 Sobolev 空间严格大于 $BV$。
• 一个在 $(0,1)$ 上定义的连续单调函数 $u(x) = (\ln(x/2))^{-1}$，对任意 $\alpha\in(0,1)$ 均非 Hölder-连续，但属于 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$，表明分数阶 Sobolev 正则性不蕴含 Hölder 连续性。
• Weierstrass 型函数 $W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} q^{-n}(e^{iq^n x} - e^{iq^n a})$（$q>1$）具有有界且连续的 Riemann-Liouville 分数阶导数（所有 $s<1$ 阶），但处处不可微，故不属于 $BV$，确认 $W^{s,1}_{RL,0+}$ 不包含于 $BV$。
• $BV(a,b) \subset \bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ 的包含关系仍为开放问题，尽管已证明 $SBV$ 在交集中严格包含，但 $BV$ 与 $W^{s,1}_{RL,0+}$ 之间的完整关系仍未明确。
• Riemann-Liouville 导数的结果可通过其与 Caputo 导数的已知关系推广至 Caputo 导数，尤其因当初始条件为零时，Caputo 导数退化为 Riemann-Liouville 导数，从而为未来在成像与控制理论中变分模型的应用铺平道路。