[论文解读] Fractional spin - a property of particles described with a fractional Schroedinger equation

Richard Herrmann|ArXiv.org|May 22, 2008

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文提出，由分数阶薛定谔方程描述的粒子表现出一种内在的分数阶自旋，这是由于在使用分数阶导数时，系统在空间旋转下保持不变而产生的。关键结果是：当 $\alpha \neq 1$ 时，哈密顿量与分数阶角动量算符 $J^{2\alpha-1}_z$ 对易，该算符可分解为标准轨道角动量与一种新的分数阶自旋分量 $S^{2\alpha-1}_z = \vec{r} \times \delta\vec{p}$，其中 $\delta\vec{p}$ 为分数阶导数与普通导数之间的动量差。

ABSTRACT

It is shown, that the requirement of invariance under spatial rotations reveales an intrinsic fractional extended translation-rotation-like property for particles described with the fractional Schroedinger equation, which we call fractional spin.

研究动机与目标

• 研究由分数阶薛定谔方程描述的粒子的内部对称性结构。
• 确定此类粒子是否具有超越标准自旋的内在角动量特性。
• 识别由哈密顿量中分数阶导数产生的新型自旋类量子数。
• 建立与分数阶哈密顿量对易的分数阶角动量算符的数学框架。
• 通过旋转对称性和对易关系，澄清分数阶导数在量子力学中的物理意义。

提出的方法

• 本文采用分数阶微积分，使用黎曼-刘维尔型或李乌维尔型分数阶导数 $\partial^\alpha_x$ 作为通用算符。
• 通过 $\hbar/mc$ 的分数阶幂，定义广义动量与位置算符 $\hat{P}_\mu$ 和 $\hat{X}_\mu$，在坐标与动量表象中引入非整数标度。
• 引入分数阶角动量算符 $K^\beta_z$，其中 $\beta = 2\alpha - 1$，使得 $J^{2\alpha-1}_z$ 与哈密顿量 $H^\alpha$ 对易，从而保证守恒。
• 分数阶自旋定义为 $S^{2\alpha-1}_z = x\delta p_y - y\delta p_x$，其中 $\delta p_i = i\left(\left(\hbar/mc\right)^{2\alpha-1}mc\partial^{2\alpha-1}_i - \hbar\partial_i\right)$，表示分数阶导数引起的动量位移。
• 推导出分数阶总角动量的对易关系，表明其代数结构依赖于 $\alpha$、$\hbar$ 和 $mc$，具有非标准特性。
• 利用分数阶导数的莱布尼茨乘积法则，计算 $J^{2\alpha-1}_z$ 与哈密顿量之间的对易子，确认其在 $\alpha \neq 1$ 时的守恒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数阶薛定谔方程是否会产生一种在标准情况（$\alpha = 1$）下不存在的新类型内在角动量？
• RQ2 在分数阶量子力学中，能否通过旋转对称性和对易关系一致地定义分数阶自旋量子数？
• RQ3 分数阶角动量算符的代数结构是什么？与标准 $su(2)$ 代数有何不同？
• RQ4 分数阶框架中的动量算符与标准动量算符有何差异？其物理意义为何？
• RQ5 参数 $\alpha$ 在决定分数阶粒子内部自由度性质方面起什么作用？

主要发现

• 当 $\alpha \neq 1$ 时，分数阶薛定谔方程描述的粒子表现出一种内在的内部结构，其特征为与标准角动量的非零对易子。
• 算符 $J^{2\alpha-1}_z = K^{2\alpha-1}_z$ 与哈密顿量 $H^\alpha$ 对易，确立其为守恒的分数阶总角动量。
• 分数阶自旋分量 $S^{2\alpha-1}_z$ 定义为 $x\delta p_y - y\delta p_x$，其中 $\delta p_i$ 为分数阶与标准动量算符之间的差值。
• 分数阶自旋源于在旋转下具有非平凡变换性质，其与分数阶导数的非局部性及非整数标度密切相关。
• 对易关系 $[J^{2\alpha-1}_x, J^{2\alpha-1}_y] = (2\alpha-1)\frac{\hbar}{mc} J^{2\alpha-1}_z p_z^{2(\alpha-1)}$ 表明其代数结构为非标准李代数结构。
• 当 $\alpha = 1$ 时，分数阶自旋算符消失，恢复标准量子力学情形，确认分数阶自旋是 $\alpha \neq 1$ 时的特有现象。