[论文解读] Fractional Trigonometric Functions in Complex-valued Space: Applications of Complex Number to Local Fractional Calculus of Complex Function

Xiao‐Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文在复数空间中引入了分数阶三角函数，并利用复数理论，建立了一个用于复函数的局部分数阶微积分框架。通过分数阶导数，将经典三角函数概念推广至分形域，实现了对非整数维集合上复函数的分析，其关键贡献在于定义了复分形空间中的分数阶正弦与余弦函数。

ABSTRACT

This paper presents the fractional trigonometric functions in complex-valued space and proposes a short outline of local fractional calculus of complex function in fractal spaces.

研究动机与目标

• 将三角函数推广至复值空间中的分数阶，以应用于分形分析。
• 为复函数在分形集上的局部分数阶微积分建立理论基础。
• 利用复数理论，在复值域中定义分数阶正弦与余弦函数。
• 探究分数阶三角函数在非整数维空间中的解析性质。
• 为将复分析应用于分形几何中的局部分数阶微积分提供框架。

提出的方法

• 通过复值黎曼-刘维尔分数阶导数，将经典三角函数推广至分数阶。
• 通过涉及伽马函数的幂级数展开，在复空间中定义分数阶正弦与余弦函数。
• 将局部分数阶微积分概念应用于定义在非整数维分形集上的复函数。
• 利用复数系统，将分数阶三角函数的定义域扩展至复数输入，超越实数输入。
• 采用适用于复分析中局部分数阶导数的广义柯西-黎曼条件。
• 推导出复值分形空间中的分数阶欧拉公式，作为分数阶三角函数的统一表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在复值空间中将经典三角函数推广至分数阶？
• RQ2 分数阶正弦与余弦函数在分形域中的解析性质是什么？
• RQ3 复函数的局部分数阶微积分在非整数维集合上如何表现？
• RQ4 复数系统能否有效用于定义和分析分形几何中的分数阶三角函数？
• RQ5 复值分形空间中分数阶欧拉公式的表达形式是什么？

主要发现

• 复值空间中的分数阶三角函数通过涉及伽马函数和分数阶导数的广义幂级数定义。
• 分数阶欧拉公式被推导为经典恒等式的复数扩展，将分数阶三角函数与分形域中的复指数函数联系起来。
• 所提出的框架使复分析技术能够应用于非整数维集合上的函数。
• 分数阶正弦与余弦函数在复值分形空间中满足广义的毕达哥拉斯恒等式。
• 复指数函数的局部分数阶导数产生一个与经典结果类似的、一致的表达式，其中包含分数阶三角函数。
• 该方法为三角函数与指数函数在复值分形几何中的连贯扩展提供了支持，使分数阶微积分拥有了新的分析工具。