[论文解读] Fractional Vector-Valued Littlewood-Paley-Stein Theory for Semigroups

José L. Torrea, Jiawen Zhang|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过引入泊松半群的分数阶导数，定义了取值于巴拿赫空间的函数的广义分数阶Littlewood–Paley $g$-函数、面积函数和 $g^*_{\rho}$-函数。研究证明，这些算子在 $L^p$-空间上有界性特征刻画了基底巴拿赫空间的Lusin余型 $q$ 性质，且与分数阶阶数无关，并将几乎必然有界性与Lusin余型联系起来。一个关键副产品是通过向量值 $L^p$-空间中奇异积分的几乎处处存在性，给出了UMD空间的新刻画。

ABSTRACT

We consider the fractional derivative of a general Poisson semigroup. With this fractional derivative we define the generalized fractional Littlewood-Paley $g$-function for semigroups acting on $L^p$-spaces of functions with values in Banach spaces. We give a characterization of the classes of Banach spaces for which the fractional Litlewood-Paley $g$-function is bounded on $L^p$-spaces. We show that the class of Banach spaces is independent of the order of derivation and coincides with the classical (Lusin type/cotype) case. It is also shown that the same kind of results exist for the case of the fractional area function and the fractional $g^*_λ$-function on $\mathbb{R}^n$. At last, we consider the relationship of the almost sure finiteness of the fractional Littlewood-Paley $g$-function, area function and $g^*_λ$-function with the Lusin cotype property of the underlying Banach space. As a byproduct of the techniques developed, one can get some results of independent interest for vector-valued Calderón--Zygmund operators. For example, one can get the following characterization, a Banach space $\mathbb{B}$ is UMD if and only if for some (or, equivalently, for every) $p\in [1,\infty)$, $\displaystyle \lim_{ε ightarrow 0} \int_{|x-y|> ε} \frac{f(y)}{x-y}dy $ exists extup{a.e.} $x\in \mathbb{R}$ for every $f\in L^p_\mathbb{B}(\mathbb{R}).$

研究动机与目标

• 将经典的Littlewood–Paley理论推广至作用于巴拿赫空间值函数的泊松半群的分数阶导数。
• 刻画使得广义分数阶 $g$-函数在 $L^p$-空间上有界的巴拿赫空间。
• 研究分数阶平方函数的几乎必然有界性与基底巴拿赫空间的Lusin余型性质之间的关系。
• 通过向量值 $L^p$-空间中奇异积分的几乎处处存在性，建立UMD空间的新刻画。

提出的方法

• 通过伽马函数的积分表示和迭代导数，定义泊松半群的分数阶导数。
• 利用该分数阶导数引入广义分数阶Littlewood–Paley $g$-函数、面积函数和 $g^*_{\rho}$-函数。
• 运用谱理论和Calderón–Zygmund分解技术，分析这些算子在取值于巴拿赫空间的 $L^p$-空间上的有界性。
• 应用极大函数估计和弱型 $(1,1)$ 有界性，将算子的几乎处处有界性与Lusin余型性质联系起来。
• 使用光滑截断函数的正则化技术，控制极大奇异积分算子，并将其与Hardy–Littlewood极大函数关联。
• 利用已知的对偶性与插值结果，证明分数阶平方函数的有界性刻画了与经典情形相同的巴拿赫空间类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些巴拿赫空间，分数阶Littlewood–Paley $g$-函数在 $L^p$-空间上有界（$1 < p < ∞$）？
• RQ2 分数阶 $g$-函数有界性的巴拿赫空间类是否依赖于分数阶导数的阶数？
• RQ3 分数阶 $g$-函数的几乎必然有界性与基底巴拿赫空间的Lusin余型性质之间有何关系？
• RQ4 在向量值情形下，奇异积分算子 $\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{|x-y| > \varepsilon} \frac{f(y)}{x-y} dy$ 的几乎处处存在性是否能刻画UMD空间？

主要发现

• 分数阶 $g$-函数在 $L^p$-空间上有界的巴拿赫空间类与分数阶阶数 $\alpha$ 无关，且与经典Lusin余型 $q$ 类一致。
• 分数阶面积函数和分数阶 $g^*_{\lambda}$-函数在 $\mathbb{R}^n$ 上的有界性结果相同，且刻画方式一致。
• 分数阶 $g$-函数、面积函数和 $g^*_{\lambda}$-函数的几乎必然有界性蕴含基底巴拿赫空间具有Lusin余型 $q$，反之亦然。
• 一个巴拿赫空间 $\mathbb{B}$ 是UMD空间，当且仅当，对某个（或所有） $p \in [1,\infty)$，对所有 $f \in L^p_{\mathbb{B}}(\mathbb{R})$，有 $\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{|x-y| > \varepsilon} \frac{f(y)}{x-y} dy$ 几乎处处存在。
• 所发展出的技术方法给出了向量值情形下Hilbert变换几乎处处存在的新刻画，从而成为UMD空间的新特征。
• 结果可推广至向量值Calderón–Zygmund算子，表明极大奇异积分的几乎处处存在性蕴含弱型 $(1,1)$ 有界性，从而推出UMD性质。