[论文解读] Fragile topological insulators protected by rotation symmetry without spin-orbit coupling

Shingo Kobayashi, Akira Furusaki|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2021

Topological Materials and Phenomena参考文献 97被引用 23

一句话总结

该论文提出了一类在类AI（时间反演对称、无自旋轨道耦合）中受旋转对称性（Cn，n=2,4,6）保护的三维脆弱拓扑绝缘体，其中轨道自由度充当赝自旋。通过威尔逊环路不变量，识别出两类：一类由Z欧拉类保护多个外尔锥，另一类由Z2不变量保护二次能带接触或多个外尔锥，二者在Cn和时间反演对称性下均具有鲁棒性。

ABSTRACT

We present a series of models of three-dimensional rotation-symmetric fragile topological insulators in class AI (time-reversal symmetric and spin-orbit-free systems), which have gapless surface states protected by time-reversal ($T$) and $n$-fold rotation ($C_n$) symmetries ($n=2,4,6$). Our models are generalizations of Fu's model of a spinless topological crystalline insulator, in which orbital degrees of freedom play the role of pseudo-spins. We consider minimal surface Hamiltonian with $C_n$ symmetry in class AI and discuss possible symmetry-protected gapless surface states, i.e., a quadratic band touching and multiple Dirac cones with linear dispersion. We characterize topological structure of bulk wave functions in terms of two kinds of topological invariants obtained from Wilson loops: $\mathbb{Z}_2$ invariants protected by $C_n$ ($n=4,6$) and time-reversal symmetries, and $C_2T$-symmetry-protected $\mathbb{Z}$ invariants (the Euler class) when the number of occupied bands is two. Accordingly, our models realize two kinds of fragile topological insulators. One is a fragile $\mathbb{Z}$ topological insulator whose only nontrivial topological index is the Euler class that specifies the number of surface Dirac cones. The other is a fragile $\mathbb{Z}_2$ topological insulator having gapless surface states with either a quadratic band touching or four (six) Dirac cones, which are protected by time-reversal and $C_4$ ($C_6$) symmetries. Finally, we discuss the instability of gapless surface states against the addition of $s$-orbital bands and demonstrate that surface states are gapped out through hybridization with surface-localized $s$-orbital bands.

研究动机与目标

• 识别无自旋轨道耦合的类AI中脆弱拓扑绝缘体。
• 对时间反演和Cn对称性保护的表面无能隙态进行分类。
• 利用威尔逊环路不变量建立体-边界对应关系。
• 分析表面态在s轨道杂化下的稳定性。
• 基于轨道角动量区分Z与Z2脆弱拓扑不变量。

提出的方法

• 通过角动量l的轨道赝自旋推广富氏的无自旋拓扑晶体绝缘体模型。
• 构建具有Cn和时间反演对称性的最小2×2与4×4表面哈密顿量。
• 计算威尔逊环路不变量，以提取由Cn和TR对称性保护的Z2不变量，以及由C2T对称性保护的欧拉类（Z不变量）。
• 利用欧拉类表征当两 bands 被占据时表面外尔锥的数量。
• 通过与表面局域的s轨道能带杂化分析表面态的不稳定性。
• 证明表面态仅在表面s轨道能带杂化时才会出现能隙，否则保持无能隙。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无自旋轨道耦合的类AI中，脆弱拓扑绝缘体是否可能存在？
• RQ2 在Cn与时间反演对称性共同作用下，会涌现出何种表面无能隙态？
• RQ3 威尔逊环路不变量如何对具有旋转对称性的系统中的脆弱拓扑相进行分类？
• RQ4 欧拉类与Z2不变量在区分脆弱拓扑相中起什么作用？
• RQ5 为何即使通过 trivial 能带实现了Wannier障碍的解除，表面态仍保持稳定？

主要发现

• 当 2l ≡ 0 mod n（n=2,4,6）时，表面出现n个外尔锥的脆弱拓扑绝缘体，由C2T对称性保护。
• 当 2l ≠ 0 mod n 时，表面在高对称点处出现二次能带接触。
• 欧拉类（Z不变量）表征具有多个外尔锥的脆弱Z拓扑绝缘体，仅在两能带被占据时有效。
• 由Cn和TR对称性保护的Z2不变量可对具有二次能带接触或多个外尔锥的脆弱Z2绝缘体进行分类。
• 表面外尔锥即使在体Wannier障碍被trivial能带解除后，仍保持无能隙，除非与表面局域的s轨道能带发生杂化。
• 当超过两个能带被占据时，Z值欧拉类退化为Z2值的第二施莱夫利类（second Stiefel-Whitney class），导致体系变为 trivial 绝缘体。