[论文解读] Framed bicategories and monoidal fibrations

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 41

一句话总结

本文引入框架双范畴（framed bicategories）作为框架，以解决在1-胞胞代表对象（如双模、广义映射）而非态射的双范畴中出现的 coherence（一致性）与等价性问题。通过利用范畴纤维化来非代数化地建模基变换函子，并将其组织为严格2-范畴，该理论实现了良好定义的等价性、伴随关系与张量结构——相较于标准双范畴，为环与模等例子提供了更自然的设定。

ABSTRACT

In some bicategories, the 1-cells are `morphisms' between the 0-cells, such as functors between categories, but in others they are `objects' over the 0-cells, such as bimodules, spans, distributors, or parametrized spectra. Many bicategorical notions do not work well in these cases, because the `morphisms between 0-cells', such as ring homomorphisms, are missing. We can include them by using a pseudo double category, but usually these morphisms also induce base change functors acting on the 1-cells. We avoid complicated coherence problems by describing base change `nonalgebraically', using categorical fibrations. The resulting `framed bicategories' assemble into 2-categories, with attendant notions of equivalence, adjunction, and so on which are more appropriate for our examples than are the usual bicategorical ones. We then describe two ways to construct framed bicategories. One is an analogue of rings and bimodules which starts from one framed bicategory and builds another. The other starts from a `monoidal fibration', meaning a parametrized family of monoidal categories, and produces an analogue of the framed bicategory of spans. Combining the two, we obtain a construction which includes both enriched and internal categories as special cases.

研究动机与目标

• 解决标准双范畴概念（尤其是等价性与伴随关系）在1-胞胞代表对象（如双模、广义映射）而非态射的双范畴中应用时的不足。
• 解决在这些双范畴中，根本的“同一性”概念（如环同构）无法被标准双范畴等价性（如 Morita 等价）所捕捉的问题。
• 提供一个支持良好定义的严格2-范畴概念（等价性、伴随关系、张量结构）的框架，适用于那些天然不自化为范畴上的富化双范畴。
• 通过单幺纤维化的构造，统一富化范畴与内部范畴的处理方式。
• 证明框架双范畴允许使用强大的2-范畴理论，从而避免 tricategories 或弱结构的复杂性。

提出的方法

• 将框架双范畴定义为具有附加结构的伪双范畴，其中竖直1-胞胞为0-胞胞之间的映射（如环同态），而水平1-胞胞为如双模等对象。
• 利用范畴纤维化非代数化地建模基变换函子，避免严格双范畴复合中固有的 coherence 问题。
• 通过弱、对偶弱与强框架函子及变换，构造框架双范畴的严格2-范畴。
• 引入“单幺纤维化”（monoidal fibration）——即一族参数化的单幺范畴——并证明其可生成类似广义映射双范畴的框架双范畴。
• 证明将单幺纤维化构造与框架双范畴构造结合，可得到统一富化范畴与内部范畴的框架。
• 建立框架双范畴包含并推广了 proarrow 设备理论，且任一二范畴均可通过其伴随关系自然导出一个框架双范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在1-胞胞为对象（如双模）的双范畴中定义等价性概念，使其能捕捉0-胞胞的同构（如环同构），而非 Morita 等价？
• RQ2 何种结构可使在1-胞胞并非态射而是对象（如环与双模的双范畴）的双范畴中，实现良好定义的伴随关系？
• RQ3 如何构造一个框架双范畴的2-范畴，使其即使在普通双范畴具有弱结构的前提下，仍能支持标准2-范畴概念（如等价性与伴随关系）？
• RQ4 单幺纤维化如何生成推广广义映射双范畴的框架双范畴？该构造如何统一富化范畴与内部范畴？
• RQ5 为何在这些双范畴设定中，使用纤维化建模基变换函子比使用代数一致性条件更有效？

主要发现

• 框架双范畴构成一个严格2-范畴，使得标准2-范畴理论（如等价性与伴随关系的概念）得以应用，而这些在标准双范畴中无法实现。
• 从单幺纤维化构造框架双范畴，可得到一个推广广义映射双范畴的结构，并将富化范畴与内部范畴作为特例统一起来。
• 框架双范畴解决了在如 Mod（环与双模）的双范畴中，标准双范畴等价性对应于 Morita 等价而非更根本的环同构的问题。
• 框架双范畴理论包含并推广了 proarrow 设备理论，且框架双范畴可自然地从任一二范畴的伴随关系中导出。
• 通过使用纤维化建模基变换，该框架避免了弱结构中的 coherence 问题，使得即使在双范畴本质上为弱结构的设定中，也能应用严格2-范畴方法。
• 本文表明，双范畴文献中的许多构造（如模的演算）在未假设柯西完备性时，实际上隐含地依赖于框架双范畴。