[论文解读] Frames and Bases in Tensor Product of Hilbert Spaces

Amir Khosravi, Mohammad Sadegh Asgari|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2012

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 11被引用 17

一句话总结

本文建立了希尔伯特空间张量积中框架与基的理论框架，证明若Y₁, Y₂, ..., Yₙ分别为希尔伯特空间H₁, H₂, ..., Hₙ的框架，则其张量积Y₁⊗Y₂⊗...⊗Yₙ构成张量积空间H₁⊗H₂⊗...⊗Hₙ的框架。进一步刻画了张量积空间中规范对偶框架的结构，并推导出各分量空间中对偶框架与其张量积之间关系，将经典框架理论推广至多重线性设置。

ABSTRACT

In this article we develop a theory for frames in tensor product of Hilbert spaces. We show that like bases if Y_1, Y_2, \cdot \cdot \cdot, Y_n are frames for H_1,H_2, \cdot \cdot \cdot, H_n, respectively, then Y_1\otimesY_2\otimes...\otimesY_n is a frame for H_\otimes1H_2\otimes \cdot \cdot \cdot \otimesH_n. Moreover we consider the canonical dual frame in tensor product space. We further obtain a relation between the dual frames in Hilbert spaces, and their tensor product.

研究动机与目标

• 将框架理论从单个希尔伯特空间推广至张量积空间。
• 研究分量希尔伯特空间中框架的张量积是否构成结果张量积空间中的框架。
• 刻画张量积空间中规范对偶框架的结构。
• 建立分量空间中对偶框架与其张量积之间数学关系。

提出的方法

• 利用希尔伯特空间张量积的代数与拓扑结构，定义张量积中框架与基。
• 证明若{y_{i}^{(k)}}是H_k的框架，则集合{y_{i_1}^{(1)} ⊗ y_{i_2}^{(2)} ⊗ ... ⊗ y_{i_n}^{(n)}}构成H₁⊗H₂⊗...⊗Hₙ的框架。
• 利用正交基与框架界性质，验证张量积空间中框架条件的成立。
• 通过框架算子的逆运算，推导张量积空间中规范对偶框架。
• 建立分量空间中对偶框架与张量积框架对偶之间的关系。
• 利用泛函分析与框架理论中的已知结果，尤其在希尔伯特空间算子与张量积的背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 单个希尔伯特空间中框架的张量积是否在张量积空间中构成框架？
• RQ2 希尔伯特空间张量积中规范对偶框架的结构是什么？
• RQ3 分量空间中的对偶框架与张量积空间中对偶框架之间有何关系？
• RQ4 张量积框架的框架界能否用各分量框架的框架界表示？
• RQ5 正交基在张量积空间中构造框架的过程中起什么作用？

主要发现

• 希尔伯特空间H₁, H₂, ..., Hₙ的框架{Y₁, Y₂, ..., Yₙ}的张量积构成张量积空间H₁⊗H₂⊗...⊗Hₙ的框架。
• 张量积框架的规范对偶框架是各分量框架规范对偶框架的张量积。
• 张量积框架的框架界是各分量框架界之积。
• 张量积空间中的对偶框架可通过对分量空间中的对偶框架进行张量积运算显式构造。
• 该理论将正交基的行为推广至多重线性设置中的框架，保持了关键的对偶性与重构性质。