[论文解读] Frames by Multiplication

Péter Balázs, Carlos Cabrelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文研究通过将一个函数与给定的函数序列相乘所形成的序列的框架和Riesz基性质，特别关注带限函数的非规则平移。文章建立了此类乘法保持框架性质的条件，并利用Beurling的密度结果证明了通过非规则平移构造框架的存在性与方法。

ABSTRACT

In this note we study frame-related properties of a sequence of functions multiplied by another function. In particular we study frame and Riesz basis properties. We apply these results to sets of irregular translates of a bandlimited function $h$ in $L^2(\R^d)$. This is achieved by looking at a set of exponentials restricted to a set $E \subset \R^d$ with frequencies in a countable set $Λ$ and multiplying it by the Fourier transform of a fixed function $h \in L^2(E)$. Using density results due to Beurling, we prove the existence and give ways to construct frames by irregular translates.

研究动机与目标

• 表征将一个框架或Bessel序列与一个固定函数相乘后仍保持其框架或Bessel性质的条件。
• 研究$ L^2(\mathbb{R}^d) $中带限函数的非规则平移的框架和Riesz基性质。
• 建立在平移不变空间中由函数平移构成的框架序列存在的充分必要条件。
• 将函数乘法结果应用于受限于有界集$ E \subset \mathbb{R}^d $的指数系统，将其与平移的框架性质联系起来。
• 利用Beurling不规则采样理论中的密度定理，证明非规则平移框架序列的存在性。

提出的方法

• 利用傅里叶变换将函数的平移与调制指数函数关联，将问题转化为频域分析。
• 应用Kohn-Nirenberg对应关系，将平移框架与加伯乘子及时变滤波器联系起来。
• 运用Beurling的密度结果，建立在$ P_E $（傅里叶变换在有界集$ E $上具有紧支集的函数空间）中非规则平移框架存在的条件。
• 分析在有界集$ E $上对框架序列$ \{e^{-2\pi i \lambda_k x}\} $乘以一个傅里叶变换支集在$ E $上的函数$ h $，导出$ \hat{h} $需满足的条件以保持框架性质。
• 推导出$ \sum_j |\hat{h}_j(\omega)|^2 $的必要与充分条件，使得平移系统$ \{T_{\lambda_k} h_j\} $的并集在$ P_{\bigcup_j E_j} $上构成一个框架。
• 利用希尔伯特空间中的对偶性与投影技术，证明乘法与平移下的框架界与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，将一个框架序列与一个固定函数相乘后，结果仍为框架序列？
• RQ2 在何种条件下，带限函数的非规则平移会构成有界集$ E $上函数空间（其傅里叶变换支集在$ E $）的框架？
• RQ3 当对应的指数函数在$ E $上构成框架时，能否为$ P_E $构造一个非规则平移的框架？
• RQ4 生成函数的傅里叶变换的$ L^2 $-范数在乘法下保持框架性质中起什么作用？
• RQ5 原始指数系统与乘法后平移系统的框架界之间有何关系？

主要发现

• 对于任意有界集$ E \subset \mathbb{R}^d $及属于$ P_E $的可积函数$ h $，即使$ \{e^{-2\pi i \lambda_k x}\} $构成$ L^2(E) $上的框架，集合$ \{h(\cdot - \lambda_k)\}_{k \in K} $在$ P_E $上也不能构成框架。
• 可选取一个不属于$ P_E $的施瓦茨类函数$ h $，使其在稍大集合$ \{\lambda_k'\} $上的平移构成$ P_E $上的框架。
• 当且仅当存在$ 0 < p \leq P < \infty $，使得对几乎所有$ \omega \in \bigcup_j E_j $，有$ p \leq \sum_j |\hat{h}_j(\omega)|^2 \leq P $，则$ \{T_{\lambda_k} h_j\}_{k \in K, j \in J} $构成$ P_{\bigcup_j E_j} $上的框架。
• 若$ \{e_{\lambda_k} \chi_{E_j}\} $是$ L^2(E_j) $上的框架，且具有统一的框架界$ m_j \geq m > 0 $与$ M_j \leq M < \infty $，则平移系统的框架界受$ MP $与$ mp $控制。
• 平移系统下界框架界满足$ \alpha \geq m \cdot \inf \sum_j |\hat{h}_j(\omega)|^2 $，上界满足$ M \cdot \sup \sum_j |\hat{h}_j(\omega)|^2 $，表明其依赖于$ \hat{h}_j $的$ L^2 $-范数。
• 必要性证明采用反证法，通过构造一列在集合$ A_n $上具有收缩$ L^2 $-范数的函数$ f_n $，表明若$ \sum_j |\hat{h}_j(\omega)|^2 $在正测度集合上过小，则下界框架界无法远离零。