[论文解读] Frankl-Rödl type theorems for codes and permutations

Peter Keevash, Eoin Long|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文使用依赖随机选择方法，提出了一类弗兰克尔-罗德尔型定理的新概率证明，显著改进了大字母表下避免禁止距离的码的界，并建立了关于排列族和弱阳花集的新结果。关键贡献是：对于避免固定汉明距离 $ d ∈ [ϵ n, (1-ϵ)n] $ 的码，得到了更强的上界 $ q^{(1-\theta)n} $，其中 $ \theta = \theta(\epsilon) > 0 $，该结果可推广至排列族与无阳花集。

ABSTRACT

We give a new proof of the Frankl-Rödl theorem on forbidden intersections, via the probabilistic method of dependent random choice. Our method extends to codes with forbidden distances, where over large alphabets our bound is significantly better than that obtained by Frankl and Rödl. We also apply our bound to a question of Ellis on sets of permutations with forbidden distances, and to establish a weak form of a conjecture of Alon, Shpilka and Umans on sunflowers.

研究动机与目标

• 使用依赖随机选择方法，发展弗兰克尔-罗德尔型定理的新证明技术。
• 改进现有关于避免固定汉明距离的码的大小界，尤其在大字母表下。
• 将这些界推广至避免固定距离的排列族与弱阳花自由集。
• 为阿尔翁、施皮尔卡与乌曼斯关于 $[q]^n$ 中强阳花的猜想提供证据。

提出的方法

• 应用依赖随机选择的概率方法，重新证明弗兰克尔-罗德尔关于禁止交集的定理。
• 利用依赖随机选择构造坐标子集，使向量对在此子集上一致，从而控制距离。
• 定义一个随机变量 $ Y $，用于计数在随机子立方体中捕获的 $ d $-对，并推导 $ \mathbb{E}[X - Y] $ 的下界，以避免出现 $ d $-对。
• 利用熵与二项式系数的界，控制随机集的大小，并在码过大时导出矛盾。
• 通过划分论证将偶数距离情形推广至奇数距离，并将偶数情形应用于公共扩展。
• 通过将排列与 $[n]^n$ 中的向量对应，将改进的码界应用于排列族；并通过基于一致性的定义，将方法推广至弱阳花自由集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用新的概率方法重新证明弗兰克尔-罗德尔关于禁止交集的定理？
• RQ2 能否在大字母表下显著改进避免固定汉明距离的码的界？
• RQ3 若禁止距离 $ d \in [\epsilon n, (1-\epsilon)n] $，排列族的最大大小是多少？
• RQ4 该方法能否推广以建立避免弱阳花的族的界？
• RQ5 改进后的界是否支持阿尔翁、施皮尔卡与乌曼斯关于强阳花的猜想？

主要发现

• 本文建立了 $ q $-元码在避免固定距离 $ d \in [\epsilon n, (1-\epsilon)n] $ 时的新上界 $ |\mathcal{C}| \leq q^{(1-\delta)n} $，其中 $ \delta = \delta(\epsilon) > 0 $，相比弗兰克尔-罗德尔的 $ (q - \delta)^n $ 界有显著改进，尤其在 $ q $ 较大时。
• 对于排列族 $ \mathcal{S} \subset S_n $，当 $ d \in [\epsilon n, (1-\epsilon)n] $ 被禁止时，有 $ |\mathcal{S}| < (n!)^{1-\delta} $，其中 $ \delta = \delta(\epsilon) > 0 $。
• 该方法证明：任何避免弱 $ k $-花瓣阳花的集合 $ \mathcal{C} \subset [q]^n $ 满足 $ |\mathcal{C}| \leq q^{(1-\delta)n} $，其中 $ \delta = \delta(k) > 0 $，支持了关于强阳花的猜想。
• 通过依赖随机选择的证明技术，若码过大，则必然存在一个包含禁止 $ d $-对的大子集，从而导出矛盾。
• 对于 $ q $-元码的界在指数部分与 $ q $ 无关，而弗兰克尔-罗德尔的界为 $ (q - \delta)^n $，因此在 $ q $ 较大时该界显著更强。
• 通过划分并约化至偶数情形，该结果可推广至奇数距离，同时保持渐近界不变。