[论文解读] Frechet algebras in abstract Harmonic analysis

Zahra Alimohammadi, Ali Rejali|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文对抽象调和分析中的弗雷chet代数进行了全面综述，将其与巴拿赫代数进行比较，并将诸如可瑕性、阿伦斯正则性和塞加尔代数等关键概念推广。文章建立了关于同态连续性、乘子代数结构以及加权群和半群上代数中阿伦斯正则性条件等基础结果的等价性。

ABSTRACT

We provide a survey of the similarities and differences between Banach and Frechet algebras including some known results and examples. We also collect some important generalizations in abstract harmonic analysis; for example, the generalization of the concepts of vector-valued Lipschitz algebras, abstract Segal algebras, Arens regularity, amenability, weak amenability, ideal amenability, etc.

研究动机与目标

• 在抽象调和分析的背景下，比较和对比弗雷chet代数与巴拿赫代数。
• 将经典概念（如可瑕性、弱可瑕性、理想可瑕性及双投影性）从巴拿赫代数推广到弗雷chet代数。
• 研究弗雷chet代数之间同态的连续性，特别是在半单性和满射条件下的情况。
• 将塞加尔代数和乘子代数的理论扩展到弗雷chet设定，包括拓扑性质和理想结构。
• 探讨弗雷chet代数的阿伦斯正则性与其二阶对偶之间的关系，特别是在加权群代数和半群代数中的情况。

提出的方法

• 利用具有可数基本半范数系的局部凸拓扑代数框架来定义弗雷chet代数。
• 应用局部乘法凸（lmc）代数中拟连续乘法的理论，证明弗雷chet代数在其二阶对偶上具有明确定义的阿伦斯乘积。
• 采用双交换代数的概念，将关于阿伦斯乘积结构中二阶对偶和单位元的结果进行推广。
• 应用0-聚类函数的概念，表征群和半群上加权代数中的阿伦斯正则性。
• 在乘子代数上使用严格拓扑、一致拓扑和紧开拓扑，研究弗雷chet代数中塞加尔代数结构。
• 利用Pirkovskii等人关于平坦循环模和近似收缩性的结果，将同调性质扩展到弗雷chet代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，弗雷chet代数之间的满射同态是连续的，特别是当余定义域为半单代数时？
• RQ2 经典可瑕性、弱可瑕性和理想可瑕性理论在多大程度上可以推广到弗雷chet代数？
• RQ3 弗雷chet代数的阿伦斯正则性有哪些表征，特别是在加权群代数和半群代数的背景下？
• RQ4 弗雷chet代数的乘子代数如何与塞加尔代数结构相关联，其行为由何种拓扑控制？
• RQ5 弗雷chet代数的阿伦斯正则性与其二阶对偶是否等价，这与权函数的0-聚类性质有何关联？

主要发现

• 若 $\mathcal{B}$ 是一个半单弗雷chet代数，且同态 $T: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 满足某种连续性条件，则 $T$ 是连续的，这推广了约翰逊的范数唯一性定理。
• 每个半单巴拿赫代数在作为弗雷chet代数时具有唯一的拓扑，因为在巴拿赫情形下满射同态的连续性是自动成立的。
• 对于具有近似单位元的交换弗雷chet $Q$-代数 $\mathcal{B}$，$\mathcal{B}$ 与任何位于 $\mathcal{B}$ 中的塞加尔弗雷chet代数 $\mathcal{A}$ 的模极大闭理想空间是同胚的。
• 弗雷chet代数 $\mathcal{A}$ 是阿伦斯正则的，当且仅当其在 $\mathcal{A}^{**}$ 上的第一和第二阿伦斯乘积重合，且该性质在双交换结构下保持不变。
• 对于局部紧群 $G$ 及其权函数 $w$，$L^1(G,w)^{**}$ 是阿伦斯正则的，当且仅当 $\Omega(x,y) = \frac{w(xy)}{w(x)w(y)}$ 是0-聚类的，或 $L^1(G)$ 是阿伦斯正则的。
• 在具有有限个幂等元的逆半群中，$\ell^1(S)$ 是阿伦斯正则的，当且仅当 $S$ 是有限的；若权函数 $w$ 有下界且 $\Omega$ 是0-聚类的，则 $S$ 是可数的。