[论文解读] Fredkin Spin Chain

Olof Salberger, V. E. Korepin|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Magnetism in coordination complexes被引用 12

一句话总结

本文提出了一种基于弗雷德金门的新型自旋链模型，其三体相互作用基于弗雷德金门，将基态映射到迪克路径，并通过彩色迪克行走推广至更高自旋系统。该模型表现出异常高的纠缠熵标度 √L，违反面积律，其主导项与 log(k)√L 成正比，适用于 SU(k) 对称系统。

ABSTRACT

We introduce a new model of interacting spin 1/2. It describes interaction of three nearest neighbors. The Hamiltonian can be expressed in terms of Fredkin gates. The Fredkin gate (also known as the CSWAP gate) is a computational circuit suitable for reversible computing. Our construction generalizes the work of Ramis Movassagh and Peter Shor. Our model can be solved by means of Catalan combinatorics in the form of random walks on the upper half of a square lattice [Dyck walks]. Each Dyck path can be mapped to a wave function of the spins. The ground state is an equally weighted superposition of Dyck walks [instead of Motzkin walks]. We can also express it as a matrix product state. We further construct the model of interacting spins 3/2 and greater half-integer spins. The models with higher spins require coloring of Dyck walks. We construct SU(k) symmetric model [here k is the number of colors]. The leading term of the entanglement entropy is then proportional to the square root of the length of the lattice [like in Shor-Movassagh model]. The gap closes as a high power of the length of the lattice.

研究动机与目标

• 将肖-莫瓦萨吉自旋链模型推广至半整数自旋，特别是自旋-1/2 及更高半整数自旋。
• 通过弗雷德金（CSWAP）门构造具有三站点相互作用的哈密顿量，以支持可逆量子计算结构。
• 建立基态与卡塔兰组合数学中迪克路径之间的联系，利用上半平面的格点行走进行描述。
• 通过引入彩色迪克行走将模型推广至更高自旋系统，以实现 SU(k) 对称性。
• 分析纠缠熵，并通过 √L 标度行为证明面积律的违反。

提出的方法

• 通过投影到三站点 singlet 态和自旋向上/向下配置，使用泡利算符表达体哈密顿量。
• 将哈密顿量表示为弗雷德金门的形式，其在三个量子比特上执行受控交换操作，确保幺正性和可逆性。
• 将自旋构型映射为迪克词——平衡括号序列，其中每个有效的迪克路径对应于基态叠加中的一个基态。
• 通过为每个未匹配的括号分配 k 种颜色之一，将模型推广至更高自旋系统，从而增加希尔伯特空间维数。
• 将基态构造成所有有效彩色迪克路径的等权叠加，通过卡塔兰组合数学进行归一化。
• 使用 Schmidt 分解计算纠缠熵，将系统分解为左右子系统，并分析未匹配括号的分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种具有三体弗雷德金型相互作用的自旋链，以支持具有组合结构的高纠缠基态？
• RQ2 此类模型中的纠缠熵如何标度，特别是与面积律的关系如何？
• RQ3 彩色迪克行走在将模型推广至更高自旋系统和 SU(k) 对称模型中起什么作用？
• RQ4 在自旋链的背景下，基态波函数与随机游走及卡塔兰数有何关联？
• RQ5 彩色迪克态中纠缠熵的主导行为是什么？其如何依赖于颜色数 k？

主要发现

• 自旋-1/2 弗雷德金链的基态是长度为 N 的所有迪克路径的等权叠加，对应于平衡括号序列。
• 对于更高自旋系统，基态被构造成所有彩色迪克路径的叠加，其中 k 种颜色被分配给未匹配的括号，导致基态数为 k^n × Cat(n)。
• 纠缠熵标度为 S ≈ S₁/₂ + (2/√π) log(k) √(2L(N−L)/L)，主导修正项与 √L 成正比，违反面积律。
• 纠缠态的 Schmidt 秩标度为 k^L mod 2 × (k^{⌊L+2⌋} − 1)/(k² − 1)，反映了不同纠缠通道的数量。
• 能谱中的能隙随系统尺寸 N 的高次幂闭合，表明系统处于临界行为。
• 该模型将肖-莫瓦萨吉自旋链推广至半整数自旋，并扩展至具有受控纠缠熵标度的 SU(k) 对称系统。