[论文解读] Free adequate semigroups

Mark Kambites|ArXiv.org|Feb 2, 2009

semigroups and automata theory参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文以自然的乘法运算，将自由充足半群明确描述为边带标签的有向树集合。它引入了一个‘折叠’映射，将这些树转化为Munn树，建立了对Munn关于自由反演半群工作的几何类比，并证明了自由充足半群是J-平凡的，且作为半群永远不是有限生成的，同时证明了有限生成的(2,1,1)-代数的词问题具有可判定性。

ABSTRACT

We give an explicit description of the free objects in the quasivariety of adequate semigroups, as sets of labelled directed trees under a natural combinatorial multiplication. The morphisms of the free adequate semigroup onto the free ample semigroup and into the free inverse semigroup are realised by a combinatorial "folding" operation which transforms our trees into Munn trees. We use these results to show that free adequate semigroups and monoids are J-trivial and never finitely generated as semigroups, and that those which are finitely generated as (2,1,1)-algebras have decidable word problem.

研究动机与目标

• 提供自由充足半群的显式组合描述，此前这类表征尚不存在。
• 将Munn对自由反演半群的几何方法推广至更广泛的充足半群类。
• 建立自由充足半群与幺半群的结构性质与算法性质，包括J-平凡性与有限生成行为。
• 证明当将自由充足半群视为(2,1,1)-代数时，其词问题具有可判定性。

提出的方法

• 将自由充足半群表示为边带标签、有向、有根、无收缩的树的集合，其上定义自然乘法运算。
• 定义一个‘折叠’操作，将这些树映射至Munn树，实现从自由充足半群到自由反演半群的态射。
• 利用修剪与同构不变性，刻画代数运算下树的等价类。
• 通过修剪树的结构及其乘法行为，利用单射态射与收缩证明J-平凡性。
• 利用有界深度函数δ(X)证明：不存在有限棵树集合能生成所有可能的树，从而证明无限生成性。
• 利用树同构与修剪操作，通过穷举搜索建立词问题的可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由充足半群能否以类似于Munn对自由反演半群的描述方式，用组合术语明确描述？
• RQ2 从自由充足半群到自由反演半群的态射在组合上如何体现？
• RQ3 自由充足半群是否为J-平凡的？其结构后果是什么？
• RQ4 自由充足半群中的词问题能否通过算法判定？其计算复杂度如何？
• RQ5 自由充足半群作为半群是否有限生成？其依赖关系如何受代数符号影响？

主要发现

• 自由充足半群与幺半群是J-平凡的，即任意两个不同元素不会生成相同的主双边理想。
• 自由充足半群作为半群永远不是有限生成的，即使生成集有限，原因在于树的深度无界。
• 有限生成的自由充足半群或幺半群的词问题具有可判定性，因为等价性可归约为修剪后带标签有向树的同构性。
• 从自由充足半群到自由反演半群的态射对应于一个组合折叠操作，该操作将树转化为Munn树。
• 深度函数δ(X)（度量顶点到主干的最大距离）在乘法下是次可加的，且在自由半群上无界，从而证明了无限生成性。
• 通过修剪与树同构性测试可建立词问题的决策过程，但其计算复杂度尚未确定。