[论文解读] Free Algebra with Countable Basis

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Advanced Algebra and Logic参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了在特征为0的交换环D上具有可数基的自由D-代数的理论，区分了Hamel基（代数基，无拓扑结构）与Schauder基（拓扑基，要求收敛性）。研究了多线性映射与代数乘积在Schauder基下保持收敛性的条件，证明了若结构常数定义了收敛级数，则具有正规收敛展开的元素的乘积仍属于此类元素的集合。

ABSTRACT

In this book I treat the structure of D-module which has countable basis. If we do not care for topology of D-module, then we consider Hamel basis. If norm is defined in D-module, then we consider Schauder basis. In case of Schauder basis, we consider vectors whose expansion in the basis converges normally.

研究动机与目标

• 形式化在特征为0的交换环D上具有可数基的自由D-模与D-代数的结构。
• 在赋范模的背景下，区分代数（Hamel）基与拓扑（Schauder）基。
• 建立多线性映射与代数乘积在Schauder基下保持收敛性的条件。
• 确保若结构常数生成收敛级数，则具有正规收敛展开的元素的乘积仍属于此类元素的集合。
• 为在具有可数基的环上进行非交换线性代数，特别是在泛函分析背景下，提供理论基础。

提出的方法

• 使用Hamel基描述无拓扑结构的代数结构，通过有限线性组合定义。
• 在赋范D-模中引入Schauder基，要求展开式具有正规收敛性。
• 定义赋范D-模L(D; A1, ..., An; A)与LC(D; A1, ..., An; A)，用于连续多线性映射。
• 应用正规收敛的概念，以确保多线性映射及其复合映射的连续性。
• 引入D-代数乘法的结构常数Ck_ij，要求对所有i,j，级数∑k Ck_ij ek收敛。
• 利用多线性映射与泛函的范数，确保在拓扑设定下的有界性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有Schauder基的D-代数在乘法下保持正规收敛性？
• RQ2 如何刻画赋范D-模之间的多线性映射，以确保其连续性与有界性？
• RQ3 结构常数在确保两个具有正规收敛展开的元素的乘积仍属于此类元素集合中起什么作用？
• RQ4 Hamel基与Schauder基之间的区别如何影响线性与多线性映射的表示与连续性？
• RQ5 在Schauder基背景下，何种条件能确保连续多线性映射的复合仍保持连续？

主要发现

• 若D-代数具有Schauder基，且其结构常数Ck_ij满足对所有i,j，级数∑k Ck_ij ek收敛，则该代数在拓扑意义上是良定义的。
• 若a = ∑aiei与b = ∑bjej是具有正规收敛展开的两个元素，则其乘积是良定义的，且属于A+(e)，即具有正规收敛展开的元素的集合。
• 多线性映射f: A1 × ... × An → A的范数有限，当且仅当其对应映射f^: A1 × ... × An → A是连续且有界的。
• 对任意满足∥f∥ < ∞的连续多线性映射f及元素ai ∈ A+i(e)，其像f(a1, ..., an)属于A+(e)，从而保证了该集合在这些映射下的封闭性。
• 若结构常数生成收敛级数，则具有正规收敛展开的向量集合A+(e)在D-代数的乘法下是封闭的。
• 共轭D-模L(D; A; D)具有对偶基{ei}，满足ei(ej) = δij，且此对偶性在给定基下保持原模的结构。