[论文解读] Free bosons and tau-functions for compact Riemann surfaces and closed smooth Jordan curves I. Current correlation functions

Leon A. Takhtajan|ArXiv.org|Feb 20, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用 10

一句话总结

本文建立了紧致黎曼曲面上自由标量场的量子场论与复平面上闭约旦曲线之间的严格联系，将τ函数定义为两种情形下的配分函数。当亏格g > 0时，τ函数被证明为解析 torsion；当g = 0时，其对应于曲面内部伪测度的正则化能量。主要贡献在于显式推导出电流关联函数的Ward恒等式，证明其与玻色化理论及无色散Toda层级的已知结果等价，并表明τ函数是面积为a的曲线空间上某Hermitian度量的Kähler势。

ABSTRACT

We study families of quantum field theories of free bosons on a compact Riemann surface of genus g. For the case g > 0 these theories are parameterized by holomorphic line bundles of degree g-1, and for the case g=0 - by smooth closed Jordan curves on the complex plane. In both cases we define a notion of tau-function as a partition function of the theory and evaluate it explicitly. For the case g > 0 the tau-function is an analytic torsion [3], and for the case g=0 - the regularized energy of a certain natural pseudo-measure on the interior domain of a closed curve. For these cases we rigorously prove the Ward identities for the current correlation functions and determine them explicitly. For the case g > 0 these functions coincide with those obtained in [21,36] using bosonization. For the case g=0 the tau-function we have defined coincides with the tau-function introduced in [29,44,24] as a dispersionless limit of the Sato's tau-function for the two-dimensional Toda hierarchy. As a corollary of the Ward identities, we obtain recent results [44,24] on relations between conformal maps of exterior domains and tau-functions. For this case we also define a Hermitian metric on the space of all contours of given area. As another corollary of the Ward identities we prove that the introduced metric is Kahler and the logarithm of the tau-function is its Kahler potential.

研究动机与目标

• 将τ函数定义并计算为紧致黎曼曲面（亏格g > 0）及复平面上闭光滑约旦曲线的自由标量场量子场论的配分函数。
• 在两种情形下建立电流关联函数的严格Ward恒等式，将其与共形场论和可积系统中的已知结果联系起来。
• 证明τ函数的对数是面积为a的约旦曲线空间上Hermitian度量的Kähler势。
• 统一并推广玻色化理论与二维Toda层级的无色散极限结果，尤其针对g = 0的情形。

提出的方法

• 论文采用自由标量场在紧致黎曼曲面及约旦曲线外部的作用泛函，对g > 0使用度为g−1的全纯线丛，对g = 0使用共形映射。
• 将τ函数定义为配分函数，通过解析 torsion 显式计算g > 0的情形，通过伪测度的正则化能量计算g = 0的情形。
• 利用U(1)-规范对称性与电流算符的算符乘积展开推导Ward恒等式，导出关联函数的微分方程。
• 对g = 0的情形，方法涉及黎曼映射定理与Faber多项式展开，将关联函数表示为围线积分形式。
• 通过log τ的二阶导数构造面积为a的曲线空间上的度量，并利用混合全纯-反全纯电流的Ward恒等式证明其Kähler性质。
• 利用围线积分与Cauchy公式，将log τ的二阶导数与全平面与Dirichlet边界下电流关联函数之差联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在紧致黎曼曲面（亏格g > 0）及复平面上的闭约旦曲线中，严格定义τ函数为自由标量场的配分函数？
• RQ2 两种情形下电流关联函数的显式形式为何？它们如何满足Ward恒等式？
• RQ3 g = 0时的τ函数与二维Toda层级Sato τ函数的无色散极限有何关系？
• RQ4 面积为a的约旦曲线空间上的Hermitian度量是否为Kähler度量？τ的对数是否为其Kähler势？
• RQ5 Ward恒等式能否用于推导log τ的二阶导数关于电流关联函数的显式公式？

主要发现

• 当g > 0时，τ函数被识别为解析 torsion，为拉普拉斯算子谱不变量的配分函数提供了几何解释。
• 当g = 0时，τ函数是约旦曲线内部自然伪测度的正则化能量，将其与共形场论及可积系统联系起来。
• 归一化约化2点电流关联函数满足Ward恒等式，其差值可表示为包含G'(z)与G'(w)的围线积分。
• 混合二阶导数∂²logτ/∂tₘ∂t̄ₙ等于−1/(2πi)² ∫∫ [G’(z)Ḡ’(w)/(1−G(z)Ḡ(w))²] z^m w̄^n dz dŵ，与关联函数之差完全匹配。
• 面积为a的曲线空间上的Hermitian度量H被证明为Kähler度量，且log τ为其Kähler势，从而在曲线模空间上建立了深刻的几何结构。
• 推导出显式积分公式，表明log[(G(z)−G(w))/(z−w)]与log[G(z)Ḡ(w)/(G(z)Ḡ(w)−1)]分别可表示为∂²logτ/∂tₘ∂tₙ与∂²logτ/∂tₘ∂t̄ₙ的级数展开。