[论文解读] Free boundary minimal surfaces of any topological type in Euclidean balls via shape optimization

Henrik Matthiesen, Romain Petrides|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 16

一句话总结

本文利用形状优化技术，在欧几里得球体内构造了任意拓扑类型的自由边界极小曲面。通过求解第一个非平凡斯泰克洛夫特征值的等周问题，作者证明了存在使曲面能分支地等距嵌入到维度由曲面拓扑控制的欧几里得球体中的最大化度量。

ABSTRACT

For any compact surface $Σ$ with smooth, non-empty boundary, we construct a free boundary minimal immersion into a Euclidean Ball $\mathbb{B}^N$ where $N$ is controlled in terms of the topology of $Σ$. We obtain these as maximizing metrics for the isoperimetric problem for the first non-trivial Steklov eigenvalue. Our main technical result concerns asymptotic control on eigenvalues in a delicate glueing construction which allows us to prove the remaining spectral gap conditions to complete the program by Fraser--Schoen and the second named author to obtain such mazimizing metrics. Our construction draws motivation from earlier work by the first named author with Siffert on the corresponding problem in the closed case.

研究动机与目标

• 解决任意具有边界的紧曲面嵌入欧几里得球体中自由边界极小浸入的存在性问题。
• 证明在长度归一化条件下，第一个非平凡斯泰克洛夫特征值可达到上确界，从而提供一种变分表征。
• 通过精巧的粘合构造证明谱隙条件，将弗雷泽–肖恩纲领推广至任意拓扑。
• 通过特征值重数控制，将目标欧几里得球体的维度 $N$ 与曲面的拓扑相关联。
• 通过证明斯泰克洛夫特征值等周问题中最大化度量的存在性，完成弗雷泽和肖恩启动的存在性程序。

提出的方法

• 在具有边界的紧曲面上提出第一个非平凡斯泰克洛夫特征值 $\sigma_1(\Sigma,g) \cdot L_g(\partial\Sigma)$ 的等周问题。
• 利用形状优化方法，识别在边界长度为单位长度约束下使 $\sigma_1$ 最大的临界度量。
• 应用一种新颖的粘合构造，在颈部被压紧的极限下渐近控制特征值。
• 通过分析特征函数在边界上的渐近行为及其 $L^2$-内积，建立谱隙条件。
• 利用临界斯泰克洛夫度量与嵌入到欧几里得球体中的自由边界极小浸入之间的联系。
• 利用第二作者的谱隙准则，验证上确界由光滑度量实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意具有非空边界的紧曲面构造嵌入到欧几里得球体中的自由边界极小浸入？
• RQ2 对于任意曲面拓扑，第一个非平凡斯泰克洛夫特征值是否在单位边界长度约束下达到最大值？
• RQ3 能否在精巧的粘合构造中建立谱隙条件，以确保最大化度量的存在？
• RQ4 目标欧几里得球体的维度 $N$ 如何依赖于曲面的拓扑不变量？
• RQ5 弗雷泽–肖恩纲领在所有拓扑下对斯泰克洛夫特征值最大化是否已完备？

主要发现

• 对于任意具有非空边界的紧曲面 $\Sigma$，存在一个分支的自由边界极小浸入，将其嵌入到维度 $N$ 依赖于 $\Sigma$ 拓扑的欧几里得球体 $\mathbb{B}^N$ 中。
• 在光滑度量 $g$ 下，$\sigma_1(\Sigma,g) \cdot L_g(\partial\Sigma)$ 的上确界被实现，从而解决了第一个非平凡斯泰克洛夫特征值的等周问题。
• 目标球体的维度 $N$ 由浸入下拉度量的第一个斯泰克洛夫特征值的重数控制。
• 粘合构造实现了对特征值的渐近控制，并确保了所需的谱隙条件被满足。
• 该结果推广并重新证明了弗雷泽和肖恩对亏格为零曲面的工作，并将其扩展到所有拓扑。
• 证明表明 $\sigma_1(\gamma,k) > \sigma_1(\gamma-1,k+1)$ 且 $\sigma_1(\gamma,k) > \sigma_1(\gamma,k-1)$ 对于 $\gamma \geq 0$，$k \geq 2$ 成立，从而通过归纳法确保了最大化度量的存在性。