[论文解读] Free Boundary Problems via Da Prato-Grisvard Theory

Raphaël Danchin, Matthias Hieber+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

Navier-Stokes equation solutions被引用 4

一句话总结

本文基於Da Prato-Grisvard框架，發展了拋物演化方程的L¹-最大正則性理論，從而實現流體力學中自由邊界問題的全局時間適定性。該理論建立了半空間中不可壓縮黏性流體與無壓縮可壓縮氣體的強解，並利用在Neumann型邊界條件下Stokes算子與Lamé算子的端點L¹-正則性，實現了小初值下的全局適定性。

ABSTRACT

An $\mathrm{L}_1$-maximal regularity theory for parabolic evolution equations inspired by the pioneering work of Da Prato and Grisvard is developed. Besides of its own interest, the approach yields a framework allowing global-in-time control of the change of Eulerian to Lagrangian coordinates in various problems related to fluid mechanics. This property is of course decisive for free boundary problems. This concept is illustrated by the analysis of the free boundary value problem describing the motion of viscous, incompressible Newtonian fluids without surface tension and, secondly, the motion of compressible pressureless gases. For this purpose, an endpoint maximal $\mathrm{L}_1$-regularity approach to the Stokes and Lamé systems is developed. It is applied then to establish global, strong well-posedness results for the free boundary problems described above in the case where the initial domain coincides with the half-space, and the initial velocity is small with respect to a suitable scaling invariant norm.

研究动机与目标

• 解決流體動力學中無限深度自由邊界問題全局時間存在性的長期開放問題。
• 基於L¹-最大正則性構建泛函分析框架，以控制歐拉坐標與拉格朗日坐標之間的變換。
• 建立半空間中黏性不可壓縮流體與可壓縮無壓氣體運動的強適定性。
• 為具有Neumann型邊界條件的Stokes與Lamé系統在齊次Besov空間中提供最大正則性的系統性方法。
• 在臨界函數空間中初始數據滿足尺度不變的小量假設下，實現全局存在性結果。

提出的方法

• 將Da Prato-Grisvard關於最大正則性的定理適應於齊次Besov空間，專注於拋物系統的L¹-正則性。
• 在上半空間中，針對具有Neumann型邊界條件的Stokes與Lamé算子，發展端點L¹-正則性估計。
• 利用實 interpolation 理論與齊次函數空間，表征Stokes算子的定義域及其最大正則性性質。
• 應用微分同胚的乘積與插值估計，處理坐標變換所產生的非線性項。
• 在臨界函數空間框架中構造不動點論證，以證明非線性自由邊界問題的全局存在性。
• 推導Neumann-Laplacian的預解估計，並利用它們通過參數橢圓性與扇形算子論證控制整個系統。

实验结果

研究问题

• RQ1 L¹-最大正則性技術能否擴展至處理流體力學中無限深度的自由邊界問題？
• RQ2 齊次Besov空間與Neumann型邊界條件在實現Stokes系統全局適定性中發揮何種作用？
• RQ3 在自由邊界問題中，如何全局控制歐拉坐標與拉格朗日坐標之間的變換？
• RQ4 在不可壓縮黏性流體的情況下，初始數據需滿足何種小量條件，系統才能存在全局強解？
• RQ5 同一框架能否應用於可壓縮無壓氣體？其分析中的結構差異為何？

主要发现

• 本文在半空間上齊次Besov空間中建立了Stokes算子的L¹-最大正則性，且估計在譜參數上一致有界。
• 當初始速度在尺度不變範數下足夠小時，不可壓縮黏性流體在半空間中的自由邊界問題存在全局時間強解。
• Lamé系統在半空間中具有端點L¹-正則性，從而可實現可壓縮無壓氣體流動的全局適定性分析，且在小初始數據下成立。
• 透過最大正則性框架，歐拉坐標到拉格朗日坐標的變換得以全局控制，這對於處理自由邊界演化至關重要。
• 推導出Neumann-Laplacian的預解估計，並用於控制整個系統，包括法向導數與高階導數。
• 由於L¹-最大正則性估計在非線性擾動下具有穩定性，不動點論證在臨界函數空間框架中成功實現。