[论文解读] Free complete Wasserstein algebras

Radu Mardare, Prakash Panangaden+1 more|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|Feb 20, 2018

Advanced Banach Space Theory被引用 5

一句话总结

本文证明了在完备度量空间 $X$ 上，$p \geq 1$ 阶的自由完备 Wasserstein 代数是空间 $X$ 上具有有限 $p$-阶矩的 Radon 概率测度，配备 $W_p$ 度量与二元凸组合。证明表明这些代数满足重心公理与 Wasserstein 条件，从而在定量代数框架中将它们表征为概率选择的自由代数。

ABSTRACT

We present an algebraic account of the Wasserstein distances $W_p$ on complete metric spaces, for $p \geq 1$. This is part of a program of a quantitative algebraic theory of effects in programming languages. In particular, we give axioms, parametric in $p$, for algebras over metric spaces equipped with probabilistic choice operations. The axioms say that the operations form a barycentric algebra and that the metric satisfies a property typical of the Wasserstein distance $W_p$. We show that the free complete such algebra over a complete metric space is that of the Radon probability measures with finite moments of order $p$, equipped with the Wasserstein distance as metric and with the usual binary convex sums as operations.

研究动机与目标

• 为 $p \geq 1$ 的完备度量空间上的 Wasserstein 距离 $W_p$ 提供代数表征。
• 对满足非扩张性与 $W_p$-条件的二元凸组合（概率选择操作）进行公理化。
• 证明具有有限 $p$-阶矩的 Radon 概率测度空间构成在给定完备度量空间上的自由完备 Wasserstein 代数。
• 弥合定量效应代数理论中标准度量空间与扩展度量空间之间的差距。
• 将重心代数与凸空间之间的等价性推广至具有 $W_p$-型度量的定量设定。

提出的方法

• 在完备度量空间上对具有非扩张二元凸组合 $x +_r y$（$r \in [0,1]$）的重心代数进行公理化。
• 将 $p$ 阶 Wasserstein 条件定义为 $d\left(\sum r_i x_i, \sum r_i x'_i\right)^p \leq \sum r_i d(x_i, x'_i)^p$。
• 证明在完备度量空间 $X$ 上具有有限 $p$-阶矩的 Radon 概率测度空间在 $W_p$ 度量下是完备的。
• 利用 Basso 引理将一般度量空间约化为可分支撑，从而实现三角不等式与完备性结果的推广。
• 借助度量代数的完备化定理，将有限支撑上的自由重心代数构造从有限支撑推广至完整的 $W_p$-完备空间。
• 建立自由 Wasserstein 重心代数与自由 Wasserstein 凸空间（$p$ 阶）之间的等价性，并通过 $+_{r}$ 的 Hölder 连续性将结果推广至中点代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些公理可以表征在 $p \geq 1$ 的完备度量空间上与 $W_p$ 度量相容的概率选择操作？
• RQ2 此类操作的自由完备代数是什么？它如何从给定的完备度量空间构造出来？
• RQ3 $W_p$ 度量在具有有限 $p$-矩的 Radon 测度上的关系如何与重心代数结构及完备性相关联？
• RQ4 能否将自由代数构造从有限支撑测度推广至完整的 $W_p$-完备 Radon 测度空间？
• RQ5 在完备度量设定下，自由 Wasserstein 重心代数与自由 Wasserstein 中点代数（$p$ 阶）之间是否存在等价性？

主要发现

• 在完备度量空间 $X$ 上，$p$ 阶的自由完备 Wasserstein 代数是 $X$ 上具有有限 $p$-阶矩的 Radon 概率测度空间，配备 $W_p$ 度量。
• 即使 $X$ 不可分，该空间在 $W_p$ 度量下也是完备的，且由有限支撑概率测度生成。
• $W_p$ 度量在具有有限 $p$-矩的 Radon 测度上满足三角不等式且完备，扩展了在可分空间中的已知结果。
• 在度量空间 $X$ 上的自由重心代数等距同构于 $X$ 上的有限支撑概率测度空间，其完备化即为完整的 $P_p(X)$。
• 通过 $r$ 的 Hölder 连续性，$x +_r y$ 作为 dyadic 近似极限的构造是良定义的，确保了完备性。
• 每个完备的 $p$ 阶 Wasserstein 中点代数均可唯一扩展为一个完备的 $p$ 阶 Wasserstein 重心代数，从而建立了范畴之间的等价性。