[论文解读] Free convex sets defined by rational expressions have LMI representations

J. William Helton, Scott McCullough|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2012

Functional Equations Stability Results参考文献 8被引用 27

一句话总结

该论文证明了在非交换变量中，由对称矩阵值有理函数定义的自由凸集，当其有界且凸时，可表示为线性矩阵不等式（LMI）。关键结果通过分析描述型实现及其奇点，将先前关于多项式LMI表示的结果推广至有理函数，证明此类凸集为谱锥集（spectrahedral），即通过捕捉所有奇点的最小描述型实现实现LMI表示。

ABSTRACT

Suppose p is a symmetric matrix whose entries are polynomials in freely noncommutating variables and p(0) is positive definite. Let D(p) denote the component of zero of the set of those g-tuples X of symmetric matrices (of the same size) such that p(X) is positive definite. By a previous result of the authors, if D(p) is convex and bounded, then D(p) can be described as the set of all solutions to a linear matrix inequality (LMI). This article extends that result from matrices of polynomials to matrices of rational functions in free variables. As a refinement of a theorem of Kaliuzhnyi-Verbovetskyi and Vinnikov, it is also shown that a minimal symmetric descriptor realization r for a symmetric free matrix-valued rational function R in g freely noncommuting variables precisely encodes the singularities of the rational function. This singularities result is an important ingredient in the proof of the LMI representation theorem stated above.

研究动机与目标

• 将自由凸集的LMI表示定理由矩阵多项式推广至自由非交换变量中的矩阵有理函数。
• 利用描述型实现表征对称自由有理函数的定义域与奇点。
• 证明由有理函数定义的有界凸自由集为谱锥集，即可以表示为线性矩阵不等式的解集。
• 通过证明最小描述型实现精确编码自由有理函数的奇点，完善最小描述型实现理论。

提出的方法

• 论文采用形式为 $ r(x) = D + C^T(J - L_A(x))^{-1}C $ 的描述型实现，表示 $ g $ 个非交换变量中的对称自由有理函数。
• 将极限定义域 $ \text{Domlim}(r,n) $ 定义为可逆集与隐藏奇点的并集，确保在可去奇点处可解析延拓。
• 证明依赖于一个关键奇点结果：最小对称描述型实现捕捉了有理函数的所有奇点，包括隐藏奇点。
• 作者应用 [HM12] 的主要结果，即由矩阵多项式定义的有界凸自由集可表示为LMI。
• 通过证明凸有界自由有理集等于对称束 $ P(x) = J \oplus \tilde{J} - L_{A \oplus \tilde{A}}(x) $ 的可逆集的零分量，确立了LMI表示。
• 证明使用路径提升论证与反证法，表明凸性意味着定义域中无隐藏奇点，从而确保集合为谱锥集。

实验结果

研究问题

• RQ1 由非交换变量中的有理表达式定义的自由凸集能否通过线性矩阵不等式表示？
• RQ2 奇点——尤其是隐藏奇点——如何影响自由有理函数的定义域？
• RQ3 对称自由有理函数的最小描述型实现是否完全编码其奇点？
• RQ4 在何种条件下，自由有理集的凸性意味着其为谱锥集？
• RQ5 能否将矩阵多项式自由凸集的LMI表示结果推广至有理函数？

主要发现

• 在 $ g $ 个自由非交换变量中，由对称矩阵值有理函数定义的自由凸集，若其有界且凸，则可表示为LMI。
• 对称束 $ P(x) = J \oplus \tilde{J} - L_{A \oplus \tilde{A}}(x) $ 的可逆集的零分量等于自由有理集 $ \mathfrak{P}_r(n) $，从而确立其谱锥性质。
• 最小对称描述型实现精确编码了对称自由有理函数的所有奇点，包括原始表达式中不可见的隐藏奇点。
• 自由有理集 $ \mathfrak{P}_r $ 的凸性意味着其不包含隐藏奇点，从而确保在原点处可解析延拓。
• 证明建立了 $ \mathfrak{P}_r = \mathcal{D}_{I - L_A(x)} $，其中 $ I - L_A(x) $ 为某个首一仿射线性束，从而确认了LMI表示。
• 该结果将 [HM12] 定理由矩阵多项式推广至有理函数，显著扩展了具有LMI表示的自由凸集类。