[论文解读] Free field realizations in representation theory and conformal field theory

Edward Frenkel|ArXiv.org|Aug 18, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 13

一句话总结

本文全面回顾了仿射 Kac-Moody 代数和 W-代数中的自由场实现，提出了一种利用自由玻色子和费米子构造其表示的强大方法。主要贡献在于通过这些实现，建立表示理论与共形场论之间的系统性框架，从而在二维共形场论和可积系统中实现显式计算并获得更深层次的结构洞见。

ABSTRACT

Invited lecture at the International Congress of Mathematicians, Zuerich, August 3-11, 1994 (extended version), reviews free field realizations of affine Kac-Moody and W-algebras and their applications.

研究动机与目标

• 系统化并回顾仿射 Kac-Moody 代数和 W-代数中自由场实现的理论。
• 通过使用自由场的显式构造，弥合表示理论与共形场论（CFT）之间的鸿沟。
• 为理解二维共形场论中无限维代数的结构与表示提供统一框架。
• 突出这些实现对解决可积系统和关联函数问题的应用。
• 作为数学物理与表示论领域研究人员在 1994 年国际数学家大会系列讲座之后的权威参考。

提出的方法

• 利用自由玻色子和费米子作为基本构建块，实现仿射 Kac-Moody 代数和 W-代数的生成元。
• 采用顶点算子代数和筛子算子，构造交织算子和关联函数。
• 应用 Wakimoto 实现作为仿射李代数自由场实现的关键范例。
• 通过哈密顿约化，利用 Drinfeld-Sokolov 约化将 W-代数与仿射 Kac-Moody 代数联系起来。
• 应用 Miura 变换，将自由场实现与 W-代数结构联系起来。
• 采用筛子电荷方法，在 Fock 空间中构造奇异向量和特征标公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过自由场（如玻色子和费米子）实现仿射 Kac-Moody 代数？
• RQ2 筛子算子在共形场论中构造表示和关联函数时起什么作用？
• RQ3 Wakimoto 实现如何为仿射李代数提供具体的自由场实现？
• RQ4 W-代数通过哈密顿约化从仿射 Kac-Moody 代数中以何种方式涌现？
• RQ5 自由场实现对计算 Fock 模中的特征标和奇异向量有何影响？

主要发现

• 自由场实现为利用由自由场构建的 Fock 空间，构造仿射 Kac-Moody 代数和 W-代数的表示，提供了一种强大的计算工具。
• Wakimoto 实现通过自由玻色子和费米子显式实现了仿射 Kac-Moody 代数，为该代数提供了非紧致且显式的实现形式。
• 在自由场表示中，筛子算子允许通过上同调方法构造奇异向量并计算特征标。
• Miura 变换建立了 W-代数与微分算子行列式之间的直接联系，从而实现显式的自由场实现。
• 通过 Drinfeld-Sokolov 方法的哈密顿约化，可从仿射 Kac-Moody 代数得到 W-代数，且该过程与自由场实现相容。
• 该框架使得在二维共形场论中显式计算关联函数和特征标公式成为可能，特别是在极小模型和 W-N 极小模型中。