[论文解读] Free Fractions: An Invitation to (applied) Free Fields

Konrad Schrempf|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2018

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出了一套计算框架，用于使用可接受线性系统（ALS）作为表示方法，处理非交换有理函数——自由分式。该框架引入了针对这些系统的加法、乘法、求逆和最小化算法，使得在自由域中能够有效操作和等价性测试，其主要贡献在于为非交换有理函数的字问题提供了一种实用且算法化的解决方法。

ABSTRACT

Long before we learn to construct the field of rational numbers (out of the ring of integers) at university, we learn how to calculate with fractions at school. When it comes to "numbers", we are used to a commutative multiplication, for example 2*3=6=3*2. On the other hand --even before we can write-- we learn to talk (in a language) using words, consisting of purely non-commuting "letters" (or symbols), for example "xy" is not equal to "yx" (with the concatenation as multiplication). Now, if we combine numbers (from a field) with words (from the free monoid of an alphabet) we get non-commutative polynomials which form a ring (with "natural" addition and multiplication), namely the free associative algebra. Adding or multiplying polynomials is easy, for example (2/3*xy+z)+1/3*xy=xy+z or 2*x(yx+3*z)=2*xyx+6*xz. Although the integers and the non-commutative polynomials look rather different, they share many properties, for example the unique number of irreducible factors: x(1-yx)=x-xyx=(1-xy)x. However, the construction of the universal field of fractions (aka "free field") of the free associative algebra is highly non-trivial (but really beautiful). Therefore we provide techniques (building on the work of Cohn and Reutenauer) to calculate with free fractions (representing elements in the free field or "skew field of non-commutative rational functions") to be able to explore a fascinating non-commutative world.

研究动机与目标

• 为应用研究人员和计算机代数系统用户，提供自由域与非交换有理函数的实用且易于理解的入门介绍。
• 通过开发用于自由分式等价性测试的算法技术，解决自由域中字问题的挑战。
• 提出一种系统化的方法，用于最小化非交换有理函数的线性表示，确保其为规范形式。
• 通过基于Cohn和Reutenauer理论的结构化算法，实现计算机代数系统中的可实现性。
• 弥合抽象代数构造与非交换有理函数具体计算工具之间的鸿沟。

提出的方法

• 通过可接受线性系统（ALS）表示自由域中的元素，其中系统 $ As = v $ 且 $ A $ 可逆，编码一个有理函数。
• 使用带主元块的分块结构ALS矩阵，编码非交换有理表达式，并支持算术运算。
• 通过可逆变换 $ (P, Q) $ 执行左和右最小化步骤，以消除线性相关的分量并减小系统规模。
• 采用两阶段最小化算法：首先检查左族 $ s $ 是否存在线性相关性，然后检查右族 $ t $，并通过更新计数器确保正确性。
• 将解向量 $ s_1 $ 的第一行作为有理函数的代表，其中 $ s_1 = u^T A^{-1} v $，且 $ u = e_1^T $。
• 通过在成功执行左最小化后，当 $ k = m > 2 $ 时将计数器 $ k $ 减1，修正了先前算法中的缺陷，确保了最小性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以适合算法计算的方式，有效表示和操作非交换有理函数？
• RQ2 非交换有理函数的最小线性表示是什么？如何通过算法计算该表示？
• RQ3 如何高效解决字问题——即判断两个自由分式是否代表同一元素？
• RQ4 对现有最小化算法需要进行哪些修改，以确保在所有情况下均正确且达到最小化？
• RQ5 如何使自由域理论对计算机代数系统而言既易于理解又可实现？

主要发现

• 本文建立了正确且完备的可接受线性系统最小化算法，并修正了先前工作中在边界情况下无法保证最小性的缺陷。
• 对于 $ ff^{-1} = 1 $，其最小ALS被确定为 $ (1, [1], 1) $，验证了最小化过程的正确性。
• 变换 $ (P, Q) $ 可用于消除相关分量，减小系统规模，同时保持第一分量 $ s_1 $ 的值不变。
• 若存在非平凡解满足 $ t^T A = 0 $，则左族 $ s $ 是 $ bK $-线性相关的，可通过求解线性系统进行检验。
• 若存在解满足 $ A^T t = 0 $，则右族 $ t $ 是 $ bK $-线性相关的，对转置系统应用相同的检验方法。
• FDALG软件包（自1.3.5版本起）的算法实现证明了其在计算机代数系统中集成的可行性。