[论文解读] Free group $C^*$-algebras associated with $\ell_p$

Rui Okayasu|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文将哈格鲁普对自由群上正定函数的刻画推广至 $\ell_p$（$p \geq 2$）相关的 $C^*$-代数，证明这些代数彼此非同构，且每个代数均具有唯一的迹态。该刻画基于正定函数在 $\ell_p$-范数下的衰减速率，将已知的约化群 $C^*$-代数结果（$p=2$）推广，并建立了与 $D_p^\pm$-完备化的同构关系。

ABSTRACT

For every $p\geq 2$, we give a characterization of positive definite functions on a free group with finitely many generators, which can be extended to the positive linear functionals on the free group $C^*$-algebra associated with the ideal $\ell_p$. This is a generalization of Haagerup's characterization for the case of the reduced free group $C^*$-algebra. As a consequence, the associated $C^*$-algebras are mutually non-isomorphic, and they have a unique tracial state.

研究动机与目标

• 将哈格鲁普对自由群上正定函数的刻画推广至与 $\ell_p$（$p \geq 2$）相关的 $C^*$-代数，推广已知的约化群 $C^*$-代数结果（$p=2$）。
• 证明对于 $p \geq 2$，$C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 代数彼此非同构。
• 证明对于 $p \in [2, \infty)$，每个 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 代数均具有唯一的迹态。
• 证明与理想 $D_p^\pm(\Gamma)$ 相关的 $C^*$-代数与与 $\ell_p(\Gamma)$ 相关的代数一致。

提出的方法

• 引入一种对自由群 $\mathbb{F}_d$ 上正定函数的刻画，这些函数可延拓为 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 上的正线性泛函，利用 $\ell_p$-范数下的衰减条件。
• 应用赫尔德不等式，并对自由群中共轭类的增长进行估计，以控制正定函数的 $\ell_p$-范数。
• 利用 $\mathbb{F}_d$ 中字长与共轭类的结构，推导出对非平凡共轭类 $K$，$W_{k+2n} \cap K$ 中元素数目的下界，表明其呈指数增长。
• 通过用 $q$ 趋近于 $p$ 上方或下方的 $\ell_q$-函数逼近 $\ell_p$-函数，建立 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 与 $C^*_{D_p^\pm}(\mathbb{F}_d)$ 之间的同构关系。
• 利用逼近泛函 $\varphi\varphi_\beta$ 在 $\beta \to 1$ 时关于弱-*拓扑收敛于 $\varphi$，确保其可延拓为 $C^*_{\ell_p}$-泛函。
• 利用布朗与根纳特关于 $\ell_\infty(\Gamma)$ 中理想上的 $C^*$-完备化已知结果，特别是关于可约性与哈格鲁普性质的刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些自由群 $\mathbb{F}_d$ 上的正定函数可延拓为 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$（$p \geq 2$）上的正线性泛函？
• RQ2 对于 $p \in [2, \infty]$，$C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 代数是否彼此非同构？
• RQ3 对于 $p \in [2, \infty)$，每个 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 是否具有唯一的迹态？
• RQ4 与理想 $D_p^\pm(\Gamma) = \bigcap_{\varepsilon>0} \ell_{p+\varepsilon}(\Gamma)$ 和 $\bigcup_{\varepsilon>0} \ell_{p-\varepsilon}(\Gamma)$ 相关的 $C^*$-代数如何与与 $\ell_p(\Gamma)$ 相关的代数相关联？

主要发现

• 对每个 $p \geq 2$，$C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 代数同构于 $C^*_{D_p^+}(\mathbb{F}_d)$，其中 $D_p^+(\Gamma) = \bigcap_{\varepsilon>0} \ell_{p+\varepsilon}(\Gamma)$，表明完备化在 $p$ 以上小范围指数扰动下保持稳定。
• 对每个 $p > 2$，$C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 代数同构于 $C^*_{D_p^-}(\mathbb{F}_d)$，其中 $D_p^-(\Gamma) = \bigcup_{\varepsilon>0} \ell_{p-\varepsilon}(\Gamma)$，表明在 $p$ 以下小范围指数降低下也保持稳定。
• $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 代数（$p \in [2, \infty]$）彼此非同构，这是由正定函数可延拓至 $C^*_{\ell_p}$-泛函所需的衰减条件不同所决定的。
• 对每个 $p \in [2, \infty)$，$C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 具有唯一的迹态，其根源在于：任何迹态均对应于在共轭类上为常数的正定函数，而这样的函数除非为零，否则不可能属于 $\ell_p$，这与归一化条件矛盾。
• 全群 $C^*$-代数 $C^*(\mathbb{F}_d)$ 同构于 $C^*_{D_\infty^-}(\mathbb{F}_d)$，其中 $D_\infty^-(\Gamma) = \bigcup_{\varepsilon>0} \ell_{\infty - \varepsilon}(\Gamma)$，扩展了已知的同构关系 $C^*_{\lambda}(\mathbb{F}_d) = C^*_{D_2^+}(\mathbb{F}_d)$。
• 对 $\mathbb{F}_d$ 上正定函数可延拓至 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 的刻画，是哈格鲁普在 $p=2$ 时结果的严格推广，其中衰减速率 $|\varphi(s)| \lesssim \alpha^{|s|}$（$\alpha < (2d-1)^{-1/p}$）对 $\varphi \in \ell_p$ 是必要且充分的。