[论文解读] Free quasi-symmetric functions of arbitrary level

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|ArXiv.org|May 31, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 21

一句话总结

本文引入了自由准对称函数的层级-$l$推广，记为 ${\bf FQSym}^{(l)}$，其基由 $l$-着色排列索引。该文构建了着色停车函数、类型 $B$ 非交叉划分以及半直积下降代数的霍普夫代数，通过着色组合对象扩展经典结构，并为 ${\bf FQSym}$、${\bf PQSym}$ 及相关代数的层级-$l$类比提供了一个统一框架，明确给出了余乘积与对偶关系。

ABSTRACT

We introduce analogues of the Hopf algebra of Free quasi-symmetric functions with bases labelled by colored permutations. As applications, we recover in a simple way the descent algebras associated with wreath products $Γ\wr\SG_n$ and the corresponding generalizations of quasi-symmetric functions. Also, we obtain Hopf algebras of colored parking functions, colored non-crossing partitions and parking functions of type $B$.

研究动机与目标

• 通过 $l$-着色排列作为基，将霍普夫代数 ${\bf FQSym}$ 推广至任意层级 $l$。
• 通过层级-$l$构造，恢复并统一半直积 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$ 的下降代数。
• 通过着色组合结构，为着色停车函数与类型 $B$ 非交叉划分定义新的霍普夫代数。
• 在层级-$l$设定下建立对偶性与内积结构，扩展索勒蒙的下降代数与普瓦里耶的准对称函数。

提出的方法

• 将 $l$-着色排列定义为对偶 $(\sigma, u)$，其中 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ 且 $u \in C^n$，$C = \{0, \dots, l-1\}$。
• 引入对偶自由 $l$-准带状 ${\bf G}_{\sigma,u}$，定义为所有在 $A^n$ 中标准化形式为 $(\sigma, u)$ 的字之和，其中 $A = B \times C$ 且 $B = \{1, \dots, N\}$。
• 通过卷积积 $\sigma' * \sigma''$ 定义乘法，确保 $\mathbf{G}_{\sigma',u'} \mathbf{G}_{\sigma'',u''} = \sum_{\sigma \in \sigma' * \sigma''} \mathbf{G}_{\sigma, u' \cdot u''}$。
• 通过余乘积 $\Delta \mathbf{G}_{\sigma,u} = \sum_{i=0}^n \mathbf{G}_{(\sigma,u)_{[1,i]}} \otimes \mathbf{G}_{(\sigma,u)_{[i+1,n]}}$ 定义，使 ${\bf FQSym}^{(l)}$ 成为一个分次双代数。
• 构造一个以着色停车函数为索引的霍普夫代数 ${\bf PQSym}^{(l)}$，其乘法与余乘积的定义方式与 ${\bf PQSym}$ 类似，利用子词的停车化操作。
• 通过将非减停车函数与迪克词的对应关系推广至类型 $B$ 非交叉划分，为原始迪克因子分配 $l$ 种颜色，得到生成函数 $\frac{1}{1 - l \frac{1 - \sqrt{1 - 4t}}{2}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过着色排列将霍普夫代数 ${\bf FQSym}$ 推广至任意层级 $l$？
• RQ2 在层级-$l$设定下，半直积 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$ 的下降代数结构是怎样的？
• RQ3 能否为着色停车函数与类型 $B$ 非交叉划分定义霍普夫代数结构？
• RQ4 层级-$l$类比的 ${\bf FQSym}$、${\bf PQSym}$ 与 ${\bf Sym}^{(l)}$ 如何通过对偶性与内积相互关联？
• RQ5 层级-$l$类型 $B$ 非交叉划分的数量的生成函数是什么？

主要发现

• 代数 ${\bf FQSym}^{(l)}$ 是一个分次霍普夫代数，其基由 $l$-着色排列索引，对乘法与余乘积封闭，分别通过标准化与停车化操作定义。
• 代数 ${\bf Sym}^{(l)}$ 是 ${\bf FQSym}^{(l)}$ 的霍普夫子代数，与普瓦里耶的准对称函数对偶，并支持一个与曼塔奇-鲁滕瑙尔下降代数同构的内积。
• 霍普夫代数 ${\bf PQSym}^{(l)}$ 建立在着色停车函数上，其大小为 $n$ 的元素有 $l^n (n+1)^{n-1}$ 个，且可通过余乘积构造为分次双代数，因此构成霍普夫代数。
• ${\bf PQSym}^{(2)}$ 限制在层级-2停车函数上形成一个霍普夫子代数，为类型 $B$ 停车函数提供了自然的代数结构。
• 类型 $B$ 非交叉划分由着色迪克词编码，每个原始迪克因子可选择 $l$ 种颜色之一，生成函数为 $\frac{1}{1 - l \frac{1 - \sqrt{1 - 4t}}{2}}$。
• 当 $l=3$ 时，该生成函数与 OEIS 中的序列 A007854 一致，确认了层级-$l$非交叉划分的组合解释。