[论文解读] Free spaces over some proper metric spaces

Aude Dalet|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文证明，可数的非紧度量空间上的Lipschitz自由空间同构于一个对偶空间，并具有度量逼近性质（MAP）。对于非紧的超度量空间，进一步证明Lipschitz自由空间同构于一个与$c_0(\bbN)$同构的空间的对偶，从而给出了明确的预对偶结构，并确认了该类空间中MAP的成立。

ABSTRACT

We prove that the Lipschitz-free space over a countable proper metric space is isometric to a dual space and has the metric approximation property. We also show that the Lipschitz-free space over a proper ultrametric space is isometric to the dual of a space which is isomorphic to c_0.

研究动机与目标

• 确定可数非紧度量空间上Lipschitz自由空间的线性结构。
• 研究此类空间是否具有度量逼近性质（MAP）。
• 刻画非紧超度量空间上Lipschitz自由空间的性质，特别是其对偶性与逼近性质。
• 在超度量情形下，建立一个与$c_0(\bbN)$同构的预对偶的存在性。

提出的方法

• 引入空间$S \subset \mathrm{lip}_0(M)$，其由在Lipschitz商空间中于无穷远处趋于零的函数构成，通过在远距离点对上差值的衰减条件来定义。
• 应用Petunīn与Plīčko的对偶定理：若$\mathcal{F}(M)^*$的子空间是分离的，且由范数取值泛函构成，则$\mathcal{F}(M)$同构于其对偶。
• 利用非紧度量空间中闭球的紧致性，证明$S$是$\mathrm{NA}(\mathcal{F}(M))$（即范数取值泛函集）的子空间。
• 在度量空间的环形区域$C_{j,k}$中构造$\varepsilon$-网，以定义映射$T: S \to c_0(F)$，证明$S$在$(1+\varepsilon)$意义下同构于$c_0(\bbN)$的子空间。
• 在超度量情形下，通过构造具有均匀Lipschitz常数且满足$|h(x)-h(y)| = d(x,y)$的函数$h$，证明$S$在点之间具有均匀分离性。
• 利用均匀分离性与范数取值性，应用对偶定理，得出$\mathcal{F}(M) \cong S^*$的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 可数非紧度量空间上的Lipschitz自由空间是否同构于一个对偶空间？
• RQ2 非紧超度量空间上的Lipschitz自由空间是否具有一个与$c_0(\bbN)$同构的预对偶？
• RQ3 可数非紧度量空间上的Lipschitz自由空间是否具有度量逼近性质（MAP）？
• RQ4 在非紧度量情形下，$M$上缓慢变化函数的空间$S$能否作为$\mathcal{F}(M)$的预对偶？

主要发现

• 可数非紧度量空间$M$上的Lipschitz自由空间$\mathcal{F}(M)$同构于$S^*$，其中$S$是$\mathrm{lip}_0(M)$中满足无穷远处衰减条件的函数空间。
• 由于非紧空间中闭球的紧致性，以及在紧集上Lipschitz范数可取到，$S$是$\mathrm{NA}(\mathcal{F}(M))$的子集。
• 对于非紧超度量空间，$\mathcal{F}(M)$同构于一个与$c_0(\bbN)$同构的空间的对偶，通过一个具有均匀分离性的子空间$S$实现。
• 在超度量情形下，$S$在点之间具有均匀分离性，通过构造满足$|h(x)-h(y)| = d(x,y)$且Lipschitz常数有界的函数$h$得以证明。
• 由$T: S \to c_0(F)$定义的映射$f \mapsto \left(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{d(x_1,x_2)}\right)_{(x_1,x_2)\in F}$是一个$\varepsilon$-同构，表明$S$在$(1+\varepsilon)$意义下同构于$c_0(\bb{N})$的子空间。
• 因此，$\mathcal{F}(M)$在可数非紧度量空间与非紧超度量空间中均具有度量逼近性质（MAP）。