[论文解读] Free subalgebras of division algebras over uncountable fields

Jason P. Bell, D. Rogalski|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文证明了，对于特征为零的不可数代数闭域上的除环，除非其在每个极大子域上均为左代数性，否则必包含由两个生成元生成的自由k-代数。关键结果表明，若有限生成的域的Gelfand-Kirillov维数小于3且不满足多项式恒等式，则其分式除环必包含此类自由子代数，从而解决了低GK维数情形下自由子代数猜想的主要情况。

ABSTRACT

We study the existence of free subalgebras in division algebras, and prove the following general result: if $A$ is a noetherian domain which is countably generated over an uncountable algebraically closed field $k$ of characteristic 0, then either the quotient division algebra of $A$ contains a free algebra on two generators, or it is left algebraic over every maximal subfield. As an application, we prove that if $k$ is an uncountable algebraically closed field and $A$ is a finitely generated $k$-algebra that is a domain of GK-dimension strictly less than 3, then either $A$ satisfies a polynomial identity, or the quotient division algebra of $A$ contains a free $k$-algebra on two generators.

研究动机与目标

• 解决不可数代数闭域上GK维数小于3的域的自由子代数猜想。
• 建立一个判定条件，利用中心化子和代数性来判断除环是否包含由两个生成元生成的自由k-代数。
• 证明若不存在自由子代数，则该除环必在每个极大子域上为代数性，从而与Kurosh问题和PI条件相联系。
• 将关于Ore扩张和Weyl代数的先前结果推广至更广泛的诺特域类。
• 提供一个清晰、普遍的条件，以判断有限生成域的分式除环是否包含自由子代数，尤其在低GK维数情形下。

提出的方法

• 使用先前工作中的判定准则（引理4.9）：若除环D关于某个非零元素a的中心化子既非左也非右代数性，则D包含由两个生成元生成的自由k-代数。
• 应用关键技术工具：在不可数域上，D包含自由子代数当且仅当D(t)包含，其中t为交换不定元。
• 运用GK维数论证以排除代数性：若Q(A)在k(x)上为代数性，则dim_k(U^{2n})的增长速度过快，与GKdim < 3矛盾。
• 利用如下事实：若D(t)在E(t) = C(x; D(t))上非代数性，则D(t)必为一个代数数域扩张，其超越次数为2，故为PI，与非PI假设矛盾。
• 应用正特征下Weyl代数的结果：若xux⁻¹ = u+1，则由x和u生成的子代数同构于Weyl代数，从而Q(A)为Q(R)上的有限维，故为PI。
• 使用引理3.5将代数性从D(t)转移到D，使用引理2.8将D和D(t)中的中心化子联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不可数域上，诺特域的分式除环在何种条件下包含由两个生成元生成的自由k-代数？
• RQ2 自由子代数猜想是否可在GK维数小于3的域上得到验证？
• RQ3 在中心化子和极大子域上的代数性在阻止自由子代数存在中起何种作用？
• RQ4 在正特征下，当不存在满足xux⁻¹ = u+1的解时，何时可确保Q(A)非PI？
• RQ5 基域的不可数性如何促成D与D(t)之间更强的传递结果？

主要发现

• 若A为不可数代数闭域k（特征为0）上的可数生成诺特域，则Q(A)要么包含由两个生成元生成的自由k-代数，要么在每个极大子域上均为左代数性。
• 对于GK维数严格小于3的有限生成k-代数A，若A不满足多项式恒等式，则Q(A)包含由两个生成元生成的自由k-代数。
• 在正特征下，若对任意超越元x ∈ A，均不存在满足xux⁻¹ = u+1的元素u，则结论同样成立。
• Weyl代数情形作为特例被恢复：其分式除环包含自由子代数，与Makar-Limanov的原始结果一致。
• 若GK维数<3的域A非PI，则其分式除环不可能在任何极大子域上为代数性，因此必包含自由子代数。
• 证明表明，假设在k(x)上为代数性将导致增长速率矛盾，因为dim_k(U^{2n})的增长速度至少为(n+2 choose 2)·n，违反GKdim < 3。