[论文解读] Freeness alone is insufficient for Manin-Peyre

Will Sawin|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文证明了仅靠自由度（freeness）不足以替代曼因-佩雷猜想中的稀疏集（thin sets）。通过使用希尔伯特概形 $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$，本文表明在标准稀疏集（由双重覆叠定义）中的有理点仍可具有高自由度，这与佩雷提出的观点相矛盾：即自由度大于 $ \epsilon(H(x)) $ 的点应足以排除例外集。

ABSTRACT

Manin's conjecture predicts the number of rational points of bounded height on a Fano variety. To make this prediction precise, it is necessary to remove a thin subset of rational points. Peyre has tentatively proposed replacing this subset by the set of points where a certain freeness function he defined takes small values. We show that this proposal fails in the case of $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb P^n)$, because the usual thin subset, consisting of rational points that lift to a certain double cover, contains many points with relatively large freeness.

研究动机与目标

• 检验佩雷的提议：自由度 $> \epsilon(H(x))$ 是否可替代曼因-佩雷猜想中对稀疏集的排除。
• 研究由双重覆叠定义的标准稀疏集中的有理点是否仍可具有高自由度值。
• 提供一个反例，以反驳自由度本身足以定义曼因-佩雷猜想中正确例外集的猜想。
• 澄清在有理点计数中，使用自由度作为稀疏集代理时所面临的几何与算术限制。

提出的方法

• 在 $\mathbb{Q}$ 上构造希尔伯特概形 $X = \operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$，其为光滑、射影且法诺（Fano）的，当 $n > 2$ 时，Picard 亏格为 2。
• 定义一个双重覆叠 $f: \operatorname{Bl}_\Delta(\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n) \to X$，其像定义了有理点的一个稀疏子集。
• 基于博斯特-佩雷格拉迪格（Bost-Peyre）格子不变量与反 canonical 高度，利用点 $x$ 处切触格子的斜率定义自由度函数 $l(x)$。
• 构造 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ 上满足有界距离与高度条件的有理点集 $S_{C,\delta}$，并通过双重覆叠将其提升至 $X$。
• 证明 $S_{C,\delta}$ 中的点具有至少 $\frac{2\delta n}{n+1} - o_h(1)$ 的自由度，表明即使位于稀疏集中，这些点仍可具有高度自由度。
• 建立高度小于 $B$ 的此类点的数量至少为 $\gg B \log B$，表明该集合在计数函数中是庞大且不可忽略的。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由度大于 $\epsilon(H(x))$ 的有理点集合是否能捕捉曼因-佩雷猜想中的正确例外集？
• RQ2 在 $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$ 的标准稀疏集（由双重覆叠定义）中的点是否必然具有低自由度？
• RQ3 是否可能在稀疏集内存在一个大且正密度的有理点子集，其仍具有高自由度？
• RQ4 自由度函数是否无法检测法诺簇中由算术或几何原因引起的例外行为？
• RQ5 一个几何定义的稀疏集是否可能包含自由度远离零的点？

主要发现

• 在 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ 上满足有界距离与高度条件的有理点集 $S_{C,\delta}$ 包含自由度至少为 $\frac{2\delta n}{n+1} - o_h(1)$ 的点，当 $\delta$ 接近 $1/2$ 时，该值可任意接近 $\frac{2n}{n+1}$。
• 该集合在双重覆叠 $f$ 下的像位于 $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$ 的稀疏子集中，但其中仍包含高自由度的点。
• 高度小于 $B$ 的此类点的数量至少为常数乘以 $B \log B$，表明该集合在计数函数中是庞大且不可忽略的。
• 对任意 $\epsilon < \frac{n}{n+1}$，可找到 $\delta$ 使得 $\frac{2\delta n}{n+1} > \epsilon$，因此在稀疏集中存在无穷多点的自由度超过 $\epsilon(H(x))$。
• 因此，自由度大于 $\epsilon(H(x))$ 的点集合无法排除整个稀疏集，从而否定了佩雷的提议。
• 该反例表明，仅靠自由度无法替代曼因-佩雷猜想中对几何定义稀疏集的需求。