[论文解读] Frequency Analysis of Temporal Graph Signals

Andreas Loukas, Damien Foucard|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2016

Advanced Graph Neural Networks参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文提出一种联合时域与图傅里叶变换（JFT），用于分析随时间在图上演变的信号，实现统一的频域处理。提出了一种分布式、线性复杂度的联合滤波器，近似最优维纳滤波器以实现干扰抑制，展示了在中等多项式阶数下对理想联合频率响应的紧密逼近。

ABSTRACT

This letter extends the concept of graph-frequency to graph signals that evolve with time. Our goal is to generalize and, in fact, unify the familiar concepts from time- and graph-frequency analysis. To this end, we study a joint temporal and graph Fourier transform (JFT) and demonstrate its attractive properties. We build on our results to create filters which act on the joint (temporal and graph) frequency domain, and show how these can be used to perform interference cancellation. The proposed algorithms are distributed, have linear complexity, and can approximate any desired joint filtering objective.

研究动机与目标

• 统一分析随时间在图上演变的信号的时域与图频域特性。
• 开发适用于多种图矩阵表示（包括拉普拉斯矩阵和邻接矩阵）的联合傅里叶变换（JFT）。
• 设计在联合时域与图频域中运行的分布式、低复杂度滤波器。
• 近似实现时序图信号中干扰抑制的最优维纳滤波器。
• 证明联合滤波通过利用联合谱结构，优于单独在时域或图域进行的滤波。

提出的方法

• 提出联合傅里叶变换（JFT），定义为 JFT(X;G) = ΨG X ΨT^T，其中 ΨG 和 ΨT 分别为图傅里叶变换矩阵和时域傅里叶变换矩阵。
• 将 JFT 表示为克罗内克积形式：ΨJ = ΨT ⊗ ΨG，从而实现高效的矩阵-向量乘法计算。
• 建立 JFT 为酉矩阵的条件，并证明在图变换下 JFT 与图傅里叶变换（GFT）的等价性。
• 提出基于多项式展开的联合滤波器设计，形式为 F = ∑k,ℓ αk,ℓ (LT^k ⊗ LG^ℓ)，支持分布式计算。
• 推导出在联合频域中用于干扰抑制的维纳滤波器，其响应为 h(λT, λG) = g(λG)/(g(λG) + f(λT))。
• 使用多项式逼近实现联合滤波器，复杂度为 O(MTKL)，其中 M 为边数，T 为周期，K 和 L 分别为逼近阶数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种联合傅里叶变换，使其推广时域与图傅里叶变换，适用于时序图信号？
• RQ2 在不同图矩阵表示下，确保联合傅里叶变换为酉矩阵的条件是什么？
• RQ3 如何在边数和信号周期的线性复杂度下，实现分布式联合滤波？
• RQ4 联合滤波器能否近似实现时序图信号中干扰抑制的最优维纳滤波器？
• RQ5 基于多项式的联合滤波器对理想联合频率响应的逼近精度如何？

主要发现

• 当图变换和时域变换均为酉矩阵时，联合傅里叶变换（JFT）为酉矩阵，且在图表示变换下，其推广了标准图傅里叶变换（GFT）。
• JFT 通过结合时域与图谱分量，实现联合频域分析，使可设计同时作用于两个域的滤波器。
• 所提出的联合滤波器实现线性复杂度 O(MTKL)，可分布式计算，每个节点仅需通信本地信息。
• 基于多项式的联合滤波器对最优维纳滤波器实现干扰抑制具有高精度，如图 3(b) 所示，中等逼近阶数下表现优异。
• 最优干扰抑制滤波器本质上是联合的，因其无法通过单独在时域或图域滤波实现，这是由于跨域统计依赖性所致。
• 联合滤波器响应 h(λT, λG) = g(λG)/(g(λG) + f(λT)) 表明，从具有图结构协方差的信号中恢复受时域结构干扰影响的信号，必须依赖联合谱处理。