[论文解读] Frequency domain analysis of the gravitational wave energy loss in hyperbolic encounters

Donato Bini, Andrea Geralico|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2021

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 42被引用 25

一句话总结

本文通过频率域方法，将双星在双曲线相遇中的引力波能量损失计算扩展到二阶后牛顿（2PN）阶，超越了领先阶结果。通过采用贝塞尔函数谱的大偏心率展开，实现了傅里叶积分的解析求解，并推导出双曲线情形下椭圆轨道增强函数的解析表达式，以偏心率的负幂级数形式表示。

ABSTRACT

The energy radiated (without the 1.5PN tail contribution which requires a different treatment) by a binary system of compact objects moving in a hyperboliclike orbit is computed in the frequency domain through the second post-Newtonian level as an expansion in the large-eccentricity parameter up to next-to-next-to-leading order, completing the time domain corresponding information (fully known in closed form at the second post-Newtonian of accuracy). The spectrum contains quadratic products of the modified Bessel functions of the first kind (Bessel K functions) with frequency-dependent order (and argument) already at Newtonian level, so preventing the direct evaluation of Fourier integrals. However, as the order of the Bessel functions tends to zero for large eccentricities, a large-eccentricity expansion of the spectrum allows for analytical computation beyond the lowest order.

研究动机与目标

• 计算双曲线相遇中引力波能量流的瞬时频率域表达式，超越领先阶。
• 将2PN精度的时间域结果推广至频率域，且不包含尾部贡献。
• 发展一种系统性的解析方法，用于计算双曲线运动中出现的频率相关贝塞尔函数的傅里叶积分。
• 推导椭圆轨道增强函数在双曲线情形下的对应形式，以偏心率的倒数幂级数表示。
• 为未来计算双曲线相遇中的高阶效应（如尾部效应）提供技术工具。

提出的方法

• 采用谐坐标系中双曲线运动的2PN精度准开普勒参数化。
• 对多极矩应用傅里叶变换，将能量流表达为频率域形式。
• 利用大偏心率极限下贝塞尔函数阶数趋近于零的特性，实现关于偏心率倒数的级数展开。
• 采用梅林变换技术，系统计算涉及频率相关阶数的修正贝塞尔函数二次乘积的傅里叶积分。
• 将能量流表示为η²和η⁴（1PN和2PN阶）的级数，其系数以贝塞尔函数和轨道参数表示。
• 通过在适当极限下恢复已知的牛顿结果，验证了该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在超越领先阶的前提下，对双曲线相遇中的频率域引力波能量流进行解析计算？
• RQ2 涉及频率相关阶数的修正贝塞尔函数的功率谱结构如何？其在大偏心率下的展开方法是什么？
• RQ3 尽管贝塞尔函数阶数非整数，能否对2PN能量流产生的傅里叶积分进行解析求解？
• RQ4 椭圆轨道增强函数在双曲线情形下的对应形式是什么？其如何以偏心率的倒数幂级数表示？
• RQ5 梅林变换技术如何促进频率域能量谱的解析计算？

主要发现

• 本文首次实现了双曲线相遇中2PN阶引力波能量流的频率域解析计算，精度达到下一阶下一阶（next-to-next-to-leading order）。
• 谱包含第一类修正贝塞尔函数的二次乘积，其阶数与频率相关，通过大偏心率展开可实现解析处理。
• 该方法通过将贝塞尔函数谱展开为偏心率的负幂级数，实现了傅里叶积分的解析求解，适用于大偏心率情形。
• 推导出的能量流表达式与参考文献[24]中的2PN精度时间域结果一致，验证了频率域方法的有效性。
• 该方法建立了一个系统框架，利用梅林变换计算超越领先阶的高阶贡献。
• 本工作为未来在双曲线相遇中计算高阶效应（如尾部效应）奠定了坚实的频率域解析基础。