[论文解读] Frequency-Domain Identification of Discrete-Time Systems using Sum-of-Rational Optimization

Mohamed Abdalmoaty, Jared Miller+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2023

Control Systems and Identification被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种针对稳定离散时间有理系统 globally optimal 的频域系统辨识方法，采用有理函数之和优化。通过将加权残差的非凸 2-范数最小化问题表述为带有多项式矩阵不等式（PMI）约束的矩-平方和（SOS）层次结构半正定规划（SDP），该方法保证收敛至全局最优解，并通过解矩阵的秩条件认证全局最优性。

ABSTRACT

We propose a computationally tractable method for the identification of stable canonical discrete-time rational transfer function models, using frequency domain data. The problem is formulated as a global non-convex optimization problem whose objective function is the sum of weighted squared residuals at each observed frequency datapoint. Stability is enforced using a polynomial matrix inequality constraint. The problem is solved globally by a moment-sum-of-squares hierarchy of semidefinite programs through a framework for sum-of-rational-functions optimization. Convergence of the moment-sum-of-squares program is guaranteed as the bound on the degree of the sum-of-squares polynomials approaches infinity. The performance of the proposed method is demonstrated using numerical simulation examples.

研究动机与目标

• 解决传统基于局部优化的参数化系统辨识方法中因陷入局部极小值而带来的挑战。
• 实现从噪声频域数据中对稳定离散时间有理传递函数模型的全局优化。
• 利用凸松弛方法，为非凸频域系统辨识问题提供可验证的全局最优解。
• 将有理函数之和优化框架扩展至带有稳定性约束的频域系统辨识问题。

提出的方法

• 将频域辨识问题表述为有理函数之和优化问题，以最小化残差的加权 2-范数。
• 使用矩-SOS（SOS）层次结构的半正定规划（SDP），生成全局最小值的非递减下界序列。
• 通过分母多项式上的多项式矩阵不等式（PMI）约束，确保所辨识模型的稳定性。
• 在测度空间中应用基于测度的线性规划（LP），其截断形式在 SOS 多项式次数增加时收敛至真实全局最小值。
• 利用矩矩阵的秩条件恢复全局最优解并认证全局最优性。
• 使用 Gloptipoly 和 YALMIP 进行建模，Mosek 求解，以及在 Julia 中使用相关项稀疏性接口（CS-TSSOS）处理大规模稳定性约束问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过凸松弛方法实现对稳定离散时间系统的频域系统辨识的全局优化？
• RQ2 在有理传递函数的全局优化框架中，如何实现稳定性约束？
• RQ3 对于此类问题，矩-SOS 层次结构在多大程度上收敛至真实全局最小值？
• RQ4 所提出的方法是否能在标准局部求解器（如 fmincon）无法认证全局最优性的情况下，实现全局最优性的认证？
• RQ5 在噪声条件下，该方法与标准系统辨识工具（如 n4sid 和 oe）相比表现如何？

主要发现

• 对于三阶系统，所提方法获得的全局最小目标值为 0.3173，与 fmincon 所得最佳结果一致，但具备全局最优性认证。
• 所辨识模型（27）在参数集 Ks 内被证明为全局最优，而 fmincon 虽找到相同解，却无法提供全局最优性验证。
• 在蒙特卡洛仿真中，所提方法的下界 SDP 值与以 n4sid 初始化的 fmincon 的目标值高度吻合，表明其性能优异。
• 以零点初始化的 fmincon 在 3000 次迭代后未能收敛，均方误差达 31.540，凸显陷入局部极小值的风险。
• 如图 1 所示，该方法成功以极小误差恢复了真实系统动态，所辨识频率响应与真实响应之间的误差显著低于对比方法。
• 当 SOS 多项式次数的上界趋于无穷时，矩-SOS 层次结构收敛至全局最小值的保证成立。