[论文解读] Frequency of dimension distortion under quasisymmetric mappings

Christopher J. Bishop, Hrant Hakobyan|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文研究了在度量空间中，拟对称映射对Ahlfors正则集的Hausdorff维数的扭曲效应，证明了此类映射对‘大多数’d-正则集无法增加维数，并基于模估计给出了维数超过d′ > d的例外集合数量的估计。对于平面拟共形映射，本文表明f(E × R)的某个分量维数至多为2/(d+1)，且该界是精确的，同时通过构造表明f(E × R)可能不包含任何可求长弧。

ABSTRACT

Abstract. We study the distortion of Hausdorff dimension of families of Ahlfors regular sets under quasisymmetric map f between metric spaces. We show that f cannot increase the dimension of “most” d-regular sets and we estimate the number of exceptional sets whose images have dimension ≥ d ′> d; the precise statements of both results involve modulus estimates for families of measures. For planar quasiconformal maps, the general estimates imply that if E ⊂ R is d-regular, then some component of f(E × R) has dimension ≤ 2/(d + 1), and we construct examples to show this bound is sharp. In addition, we construct 1-dimensional sets E so that f(E × R) contains no rectifiable sub-arc. These results generalize work of Balogh, Monti and Tyson [5] and answer questions posed in [5], [8]. 1.

研究动机与目标

• 分析度量空间中拟对称映射对Hausdorff维数的扭曲效应。
• 量化在这些映射下，有多少d-正则集的维数可能被增加。
• 为平面拟共形映射下乘积集E × R的像建立精确的维数界限。
• 构造例子，使得f(E × R)不包含任何可求长子弧，从而解决该领域中的开放问题。

提出的方法

• 使用测度族的模估计来控制在拟对称映射下维数增加的例外集合的大小。
• 应用几何测度论技术分析Ahlfors正则集在拟对称映射下的像的结构。
• 利用平面拟共形设定，通过共形模和几何扭曲估计推导维数界限。
• 显式构造一维集合E，使得f(E × R)不包含任何可求长子弧，从而证明维数界限的精确性。
• 通过将Balogh、Monti和Tyson的结果推广，将维数扭曲估计扩展到更广泛的度量空间类。
• 利用d-正则性和拟对称性，推导f(E × R)中分量维数的统一界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当E ⊂ R为d-正则集且f为平面拟共形映射时，f(E × R)的分量最大可能维数是多少？
• RQ2 有多少d-正则集在拟对称映射下其维数会被增加，且这一例外族的大小由什么控制？
• RQ3 对于某个一维d-正则集E，f(E × R)是否可能不包含任何可求长子弧，若可能，其条件是什么？
• RQ4 f(E × R)的分量维数的上界2/(d+1)是否精确，且能否被达到？
• RQ5 测度族的模估计如何与拟对称映射下Ahlfors正则集的维数扭曲相关？

主要发现

• 对于任意d-正则集E ⊂ R，其在平面拟共形映射f下的像f(E × R)至少有一个分量的维数≤ 2/(d+1)。
• 通过显式构造达到等式的d-正则集E，证明了f(E × R)的分量维数上界2/(d+1)是精确的。
• 存在一维集合E，使得f(E × R)不包含任何可求长子弧，表明像可以完全是不可求长的。
• 在拟对称映射下，其像维数≥ d′ > d的d-正则集的数量，由测度族的模估计所控制。
• 拟对称映射无法增加‘大多数’d-正则集的维数，例外集合的数量通过基于模的估计被定量控制。
• 本研究推广了Balogh、Monti和Tyson的结果，将他们的工作扩展到更广泛的度量空间设定。