[论文解读] Frequency theorem for the regulator problem with unbounded cost functional and its applications to nonlinear delay equations

Mikhail Anikushin|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用 9

一句话总结

本文在配对希尔伯特空间框架下，为具有无界代价泛函的调节器问题建立了非奇异频率定理，通过有界线性算子导出类似李雅普诺夫的泛函。该框架被应用于推导非自治非线性时滞方程的频域稳定性准则，在特定情况下可恢复经典圆判据。

ABSTRACT

We study the regulator problem with an unbounded cost functional of a general type. A motivation comes from delay equations, which has the feedback part with discrete delays (or, in other words, delta-like measurements, which are unbounded in $L_{2}$). We treat the problem in an abstract context of a certain Hilbert space, which is rigged by a Banach space. We obtain a version of the non-singular frequency theorem, which guarantees the existence of a unique optimal process, starting in the Banach space. We show that the optimal cost (that is the value of the functional on the optimal process) is given by the quadratic of a bounded linear operator from the Banach space to its dual and this form can be used as a Lyapunov-like functional. For a large class of non-autonomous nonlinear delay equations in a feedback form we obtain a frequency-domain stability criteria, which in particular cases coincides with the well-known circle criterion.

研究动机与目标

• 为解决由离散时滞系统（如具有狄拉克型测量的系统）中产生的无界代价泛函的调节器问题。
• 在配对希尔伯特空间框架下，建立从巴拿赫空间出发的最优过程的存在性与唯一性。
• 将最优代价表征为从巴拿赫空间到其对偶空间的有界线性算子的二次型，从而实现类似李雅普诺夫的稳定性分析。
• 为一大类非自治非线性时滞方程（反馈形式）推导频域稳定性准则。
• 表明所导出的准则可推广并包含经典圆判据作为特例。

提出的方法

• 在配对希尔伯特空间中表述调节器问题，其中状态空间为希尔伯特空间，初始状态属于连续嵌入其中的巴拿赫空间。
• 引入一个一般性的无界代价泛函，以捕捉具有离散时滞的反馈能量，建模狄拉克型测量。
• 应用一个抽象频率定理，以保证在巴拿赫空间设定下最优过程的存在性与唯一性。
• 将最优代价表示为涉及从巴拿赫空间到其对偶空间的有界线性算子的二次型，该形式可作为类似李雅普诺夫的泛函。
• 通过分析系统算子及其预解式的谱性质，将稳定性分析转化为频域。
• 将频域准则应用于具有反馈的非线性时滞方程，得出渐近稳定性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始状态位于巴拿赫空间时，具有无界代价泛函的调节器问题在何种条件下存在唯一的最优过程？
• RQ2 如何表示最优代价，以实现对时滞系统的李雅普诺夫型稳定性分析？
• RQ3 何种频域条件可确保非自治非线性时滞方程（具有反馈）的渐近稳定性？
• RQ4 所导出的稳定性准则在何种意义上推广或退化为经典圆判据？
• RQ5 该抽象框架能否应用于由L2中无界算子建模的具有离散时滞的系统？

主要发现

• 在所提出的抽象框架下，对于巴拿赫空间中的初始状态，最优过程存在且唯一。
• 最优代价表示为从巴拿赫空间到其对偶空间的有界线性算子的二次型，从而提供一个类似李雅普诺夫的泛函。
• 非自治非线性时滞方程（反馈形式）的稳定性由基于频率定理推导出的频域准则所刻画。
• 在特定情况下（如具有标量时滞的线性时不变系统），所导出的稳定性准则退化为经典圆判据。
• 通过将状态空间嵌入配对希尔伯特空间，该框架可容纳源于离散时滞的无界代价泛函（在L2中无界）。
• 该方法可在不假设系统为自治或线性的情况下实现稳定性分析，从而将适用范围扩展至更广泛的时滞方程类别。