[论文解读] Frequently recurrence properties and block families

Rodrigo Cardeccia, Santiago Muro|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2022

Holomorphic and Operator Theory被引用 5

一句话总结

本文证明了在巴拿赫空间上，重复超循环算子的谱必须是完备的，这意味着以仅支持恒等算子紧致扰动著称的Argyros-Haydon空间无法容纳任何重复超循环算子。作者引入并分析了近乎$φ$-递归性与块族($b\mathcal{F}$)，以证明恒等算子的紧致扰动不是重复超循环的，从而解决了线性动力系统中关于此类算子在某些巴拿赫空间上是否存在这一关键问题。

ABSTRACT

We prove that reiteratively hypercyclic operators have perfect spectrum. Consequently, it follows that there exist separable infinite dimensional Banach spaces that do not support any reiteratively hypercyclic operator. For this, we study $\mathcal F$-recurrence and almost $\mathcal {F}$-recurrence of operators for general families and in particular for a special class of families, called block families.

研究动机与目标

• 确定每个无限维可分巴拿赫空间是否都支持一个重复超循环算子，特别是考虑到Argyros-Haydon空间独特的算子结构。
• 研究一般族$φ$下$φ$-递归性、近乎$φ$-递归性与$φ$-超循环性之间的关系，尤其是块族$b\mathcal{F}$。
• 证明恒等算子的紧致扰动不可能是重复超循环的，从而证明Argyros-Haydon空间不支持此类算子。
• 阐明近乎$φ$-递归性蕴含$φ$-递归性的条件，特别是对伴随算子以及诸如syndetic集或下密度集等特定族而言。
• 探讨在近乎$φ$-递归性下后移算子的动力学，并确定何时这能推出$φ$-超循环性。

提出的方法

• 引入近乎$φ$-递归性的概念，作为$φ$-递归性的强化形式，其中返回时间在广义意义上是稠密的。
• 将块族$b\mathcal{F}$定义为给定族$φ$中集合的有限块的并集，以研究结构化的递归模式。
• 应用遗传上行族与Furstenberg族的理论，统一频繁超循环性、重复超循环性与混沌等概念。
• 利用对偶性与拓扑论证（例如，闭球的$w^*$-紧性）证明，伴随算子的近乎重复递归性蕴含存在具有全支撑的不变测度。
• 借助Grivaux与Matheron关于不变测度与近乎频繁递归性的结果，推导出$φ$-递归性与超循环性的相关推论。
• 分析单边与双边后移算子在近乎$φ$-递归性下的情形，建立超循环性成立的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个无限维可分巴拿赫空间是否都支持一个重复超循环算子？
• RQ2 对于遗传上行族，近乎$φ$-递归性是否蕴含$φ$-递归性，特别是对于正下密度集或syndetic集族？
• RQ3 对于伴随算子，$b\mathcal{F}$-递归性是否蕴含$φ$-递归性，尤其当$φ = \mathcal{IAP}$或$\underline{\mathcal{D}}$时？
• RQ4 若双边后移算子是近乎$φ$-递归的，是否对上族$φ$而言必然是$φ$-超循环的？
• RQ5 一个巴拿赫空间是否可能支持重复超循环算子，但不支持任何频繁超循环算子？

主要发现

• 在局部凸空间上，重复超循环算子必须具有完备谱，这是一种结构性限制，限制了其在某些空间中的存在性。
• Argyros-Haydon空间不支持任何重复超循环算子，因为其仅支持恒等算子的紧致扰动。
• 在实或复局部凸空间上，恒等算子的紧致扰动不可能是重复超循环的，这通过块族与近乎$φ$-递归性的分析得以证明。
• 对于均匀有限不变的上族，单边后移算子是$φ$-超循环的，当且仅当它是近乎$φ$-递归的。
• 几乎重复递归的伴随算子支持一个具有全支撑的不变测度，该结论通过对偶性与拓扑紧性论证确立。
• 在伴随算子假设下，近乎$φ$-递归性蕴含$φ$-递归性的推论对若干关键族成立，包括$φ = \mathcal{IAP}$、$\underline{\mathcal{D}}$与$\overline{\mathcal{D}}$。