[论文解读] Frobenius Additive Fast Fourier Transform

Wen-Ding Li, Ming-Syan Chen⋆+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于Frobenius加法快速傅里叶变换（FAFFT）的新方法，利用有限域中的Frobenius映射，在小次数下高效实现二元多项式乘法。该方法在次数小于256时达到29,005次位操作的记录最低值，优于Karatsuba算法和以往的FFT方法，首次在如此低的次数下实现基于FFT的乘法在位操作数上超越Karatsuba算法。

ABSTRACT

In ISSAC 2017, van der Hoeven and Larrieu showed that evaluating a polynomial P in GF(q)[x] of degree

研究动机与目标

• 为克服传统观念中认为FFT在小次数多项式乘法中效率低下的问题，因为其隐藏常数较高。
• 将Frobenius FFT技术从乘法单位根推广至基于Cantor和Gao-Mateer的加法FFT结构。
• 减少二元多项式乘法中的位操作数，尤其针对密码学与编码理论中相关的低次情形。
• 证明基于FFT的乘法在次数低至256时，其位操作数可优于类似Karatsuba的算法。
• 提供一个可公开获取的FAFFT乘法实用代码生成器，适用于嵌入式与密码学系统部署。

提出的方法

• 该方法将Frobenius FFT框架扩展至加法FFT结构，利用有限域扩张中的Frobenius映射来利用对称性。
• 采用Cantor和Gao-Mateer的加法FFT算法，该算法在特征2的Artin-Schreier扩张上使用多项式除法。
• 利用Frobenius映射通过固定基域𝔽₂的域自同构来减少操作数。
• 通过在𝔽₂^d中运算并采用适配于扩张域加法结构的基，对二元多项式进行算法优化。
• 实现了一个代码生成器，可自动生成使用FAFFT的多项式乘法的优化过程。
• 对于现代CPU上的大次数乘法，通过将求值点限制在𝔽₂^128的子集上，将方法适配于使用PCLMULQDQ指令。

实验结果

研究问题

• RQ1 Frobenius FFT技术能否从有限域中的乘法结构推广至加法FFT结构？
• RQ2 FAFFT能否在小次数下实现低于类似Karatsuba算法的二元多项式乘法位操作数？
• RQ3 与Kronecker或标准加法FFT等现有基于FFT的方法相比，Frobenius加法FFT在位操作数上是否表现更优？
• RQ4 FAFFT能否高效适配于支持PCLMULQDQ等专用指令的现代CPU？
• RQ5 在小次数二元多项式中，基于FFT的乘法在位操作数上的性能上限是什么？

主要发现

• 对于次数小于256的多项式，FAFFT方法仅需29,005次位操作，创下新纪录，优于此前最佳结果33,397次。
• 在次数为128时，该方法实现11,556次位操作，仅比此前最佳的11,466次慢0.78%，表现出近乎最优性。
• 该方法在位操作数上比基于Kronecker的FFT实现低约2倍，与Frobenius FFT的理论预期一致。
• 在Intel Skylake架构上，使用PCLMULQDQ的FAFFT变体在次数高达2^23时，性能优于所有先前实现（如FDFT、ADFT、gf2x）。
• 对于Koblitz曲线（如sect233k1、sect239r1、BBE251），FAFFT相比先前方法减少了位操作数，从而在二元椭圆曲线密码学中实现更快的算术运算。
• 本工作首次证明，基于FFT的乘法可在如此低的次数下实现位操作数上超越类似Karatsuba的算法，挑战了以往的假设。