[论文解读] Frobenius algebras and ambidextrous adjunctions

Aaron D. Lauda|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 26

一句话总结

本文建立了一种类别对偶性：在张量范畴中的每个弗罗贝尼乌斯对象，均可从一个2-范畴中同时具有左和右伴随的双侧伴随（即双侧伴随）中导出，该2-范畴完全且忠实嵌入该范畴。关键贡献在于通过双侧伴随对2D拓扑量子场理论（TQFT）进行了范畴化重构，更高维度的范畴化表明，半严格张量2-范畴中的弗罗贝尼乌斯伪幺半群，可由半严格3-范畴中的伪双侧伴随导出。

ABSTRACT

In this paper we explain the relationship between Frobenius objects in monoidal categories and adjunctions in 2-categories. In particular, we show that every Frobenius object in a monoidal category M arises from an ambijunction (simultaneous left and right adjoints) in some 2-category D into which M fully and faithfully embeds. Since a 2D topological quantum field theory is equivalent to a commutative Frobenius algebra, this result also shows that every 2D TQFT is obtained from an ambijunction in some 2-category. Our theorem is proved by extending the theory of adjoint monads to the context of an arbitrary 2-category and utilizing the free completion under Eilenberg-Moore objects. We then categorify this theorem by replacing the monoidal category M with a semistrict monoidal 2-category M, and replacing the 2-category D into which it embeds by a semistrict 3-category. To state this more powerful result, we must first define the notion of a `Frobenius pseudomonoid', which categorifies that of a Frobenius object. We then define the notion of a `pseudo ambijunction', categorifying that of an ambijunction. In each case, the idea is that all the usual axioms now hold only up to coherent isomorphism. Finally, we show that every Frobenius pseudomonoid in a semistrict monoidal 2-category arises from a pseudo ambijunction in some semistrict 3-category.

研究动机与目标

• 在张量范畴中的弗罗贝尼乌斯对象与2-范畴中的双侧伴随之间建立范畴对应关系。
• 证明每个2D TQFT（等价于一个交换弗罗贝尼乌斯代数）均可从某个2-范畴中的双侧伴随中导出。
• 通过将弗罗贝尼乌斯对象范畴化为弗罗贝尼乌斯伪幺半群，将伴随关系范畴化为伪双侧伴随，将此对偶性推广至高阶范畴。
• 证明每个半严格张量2-范畴中的弗罗贝尼乌斯伪幺半群，均可由某个半严格3-范畴中的伪双侧伴随生成。
• 利用艾伦伯格-莫尔对象与增强Yoneda引理，提供一个统一框架，用于构建此类对偶性。

提出的方法

• 通过在艾伦伯格-莫尔对象下自由完备化，将伴随单子理论推广至任意2-范畴。
• 利用增强Yoneda引理，从EM完备化中的表示性结构重构伪伴随。
• 引入弗罗贝尼乌斯伪幺半群的概念，作为弗罗贝尼乌斯对象的范畴化，其公理由同构自然满足。
• 将伪双侧伴随定义为一个1-态射，其同时是另一个1-态射的左和右伪伴随，且结构映射在同构下保持一致。
• 在Gray-范畴中应用艾伦伯格-莫尔对象的构造，从弗罗贝尼乌斯伪单子生成双侧伪伴随。
• 使用悬停函子Σ，将半严格张量2-范畴与Gray-范畴关联，从而实现主结果的范畴化。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个张量范畴中的弗罗贝尼乌斯对象是否都能被实现为某个2-范畴中双侧伴随的产物？
• RQ2 弗罗贝尼乌斯代数与伴随之间的对偶性，如何推广至高阶范畴结构？
• RQ3 在半严格张量2-范畴中，弗罗贝尼乌斯代数的范畴化类比是什么？
• RQ4 每个半严格张量2-范畴中的弗罗贝尼乌斯伪幺半群，是否都能由某个半严格3-范畴中的伪双侧伴随生成？
• RQ5 艾伦伯格-莫尔对象与增强Yoneda嵌入在构建此类对偶性中扮演何种角色？

主要发现

• 每个张量范畴中的弗罗贝尼乌斯对象，均可从一个完全且忠实嵌入该范畴的2-范畴中的双侧伴随中导出。
• 每个2D TQFT均等价于一个交换弗罗贝尼乌斯代数，因此可由某个2-范畴中的双侧伴随生成。
• 在Gray-范畴中，每个弗罗贝尼乌斯伪单子均在艾伦伯格-莫尔完备化EM(𝒦)中生成一个双侧伪伴随。
• 该弗罗贝尼乌斯伪单子由一个伪伴随生成，该伪伴随同时是遗忘函子的左和右伪伴随，且具有相同的余单位。
• 该构造依赖于增强Yoneda引理，将表示性结构提升至EM(𝒦)中的伪伴随。
• 推论42确认：半严格张量2-范畴中的弗罗贝尼乌斯伪幺半群，可诱导出Σ(𝒫)的艾伦伯格-莫尔完备化EM(Σ(𝒫))中的伪双侧伴随。