[论文解读] Frobenius pairs in abelian categories: correspondences with cotorsion pairs, exact model categories, and Auslander-Buchweitz contexts

Víctor Becerril, Octavio Mendoza+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文在阿贝尔范畴中建立了弗罗贝尼乌斯对、相对余挠对、精确模型结构以及奥尔施泰因-布希维茨框架之间的全面对应关系。文章引入了左弗罗贝尼乌斯对与右弗罗贝尼乌斯对，利用霍夫西-吉利斯佩对应关系，从这些对构造出投射与内射的精确模型结构，并证明强弗罗贝尼乌斯对与具有足够投射或内射对象的阿贝尔范畴中的完全、遗传且完备的余挠对之间存在一一对应关系。

ABSTRACT

In this work, we revisit Auslander-Buchweitz Approximation Theory and find some relations with cotorsion pairs and model category structures. From the notions of relatives generators and cogenerators in Approximation Theory, we introduce the concept of left Frobenius pairs $(\mathcal{X},ω)$ in an abelian category $\mathcal{C}$. We show how to construct from $(\mathcal{X},ω)$ a projective exact model structure on $\mathcal{X}^\wedge$, as a result of Hovey-Gillespie Correspondence applied to two compatible and complete cotorsion pairs in $\mathcal{X}^\wedge$. These pairs can be regarded as examples of what we call cotorsion pairs relative to a thick subcategory of $\mathcal{C}$. We establish some correspondences between Frobenius pairs, relative cotorsion pairs, exact model structures and Auslander-Buchweitz contexts. Finally, some applications of these results are given in the context of Gorenstein homological algebra by generalizing some existing model structures on the categories of modules over Gorenstein and Ding-Chen rings, and by encoding the stable module category of a ring as a certain homotopy category. We also present some connections with perfect cotorsion pairs, covering classes, and cotilting modules.

研究动机与目标

• 通过在阿贝尔范畴中引入弗罗贝尼乌斯对的概念，推广奥尔施泰因-布希维茨逼近理论。
• 建立弗罗贝尼乌斯对、相对余挠对与精确模型结构之间的对应关系。
• 利用弗罗贝尼乌斯对扩展关于戈伦斯坦与丁-陈模上的现有模型结构。
• 通过一个统一框架，统一并推广来自戈伦斯坦同调代数、同伦论与余倾斜理论的结果。
• 证明强弗罗贝尼乌斯对与具有足够投射或内射对象的阿贝尔范畴中完全、遗传且完备的余挠对之间存在一一对应关系。

提出的方法

• 在阿贝尔范畴 $\mathcal{C}$ 中引入左弗罗贝尼乌斯对与右弗罗贝尼乌斯对 $(\mathcal{X}, \omega)$，其中 $\mathcal{X}$ 是一个可解类，$\omega$ 是具有有限投射维数的相对生成元。
• 将 $\mathcal{X}^\wedge$ 定义为在 $\mathcal{X}$ 上具有有限解析维数的子范畴，证明其为厚子范畴。
• 利用相对同调维数及相对生成元与余生成元的概念，在 $\mathcal{X}^\wedge$ 中构造两个相容且完备的余挠对。
• 应用霍夫西-吉利斯佩对应关系，从这两个余挠对在 $\mathcal{X}^\wedge$ 上获得一个精确模型结构。
• 建立强左弗罗贝尼乌斯对与在具有足够投射对象的范畴中 $\mathcal{X}^\wedge$ 上的投射 AB 模型结构之间的一一对应关系。
• 将构造过程对偶化，用于右弗罗贝尼乌斯对，从而在具有足够内射对象的范畴中获得内射 AB 模型结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 弗罗贝尼乌斯对在阿贝尔范畴中与厚子范畴上的相对余挠对有何关系？
• RQ2 在什么条件下，弗罗贝尼乌斯对能诱导出 $\mathcal{X}^\wedge$ 中完全且相容的余挠对对？
• RQ3 霍夫西-吉利斯佩对应关系是否可用于从弗罗贝尼乌斯对构造精确模型结构？
• RQ4 强弗罗贝尼乌斯对与完全、遗传且完备的余挠对之间的精确对应关系是什么？
• RQ5 弗罗贝尼乌斯对如何用于推广戈伦斯坦同调代数中已有的模型结构？

主要发现

• 强左弗罗贝尼乌斯对 $(\mathcal{X}, \omega)$ 在 $\mathcal{X}^\wedge$ 上诱导出一个投射精确模型结构，其同伦范畴同构于 $\mathcal{X}$ 模 $\omega$ 的稳定范畴。
• 强左弗罗贝尼乌斯对与 $\mathcal{C}$ 中满足 $\mathcal{F} \cap \mathcal{G} = \mathsf{Proj}(\mathcal{C})$ 且 $\mathsf{id}_{\mathcal{F}}(\mathcal{G}) = 0$ 的完全、遗传且完备的余挠对 $(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ 之间存在一一对应关系。
• 该对应关系通过映射 $\Phi: (\mathcal{X}, \omega) \mapsto (\mathcal{X}, \omega^\wedge)$ 与 $\Psi: (\mathcal{F}, \mathcal{G}) \mapsto (\mathcal{F}, \mathcal{F} \cap \mathcal{G})$ 建立，二者互为逆映射。
• 该构造将已知的在戈伦斯坦与丁-陈环上模的模型结构推广，通过编码为源自弗罗贝尼乌斯对的 AB 模型结构。
• 一个环的稳定模范畴被实现为 AB 模型结构的同伦范畴，从而为相对戈伦斯坦投射模提供了同伦解释。
• 右弗罗贝尼乌斯对的对偶理论在具有足够内射对象的阿贝尔范畴中产生内射 AB 模型结构，且具有类似的双射对应关系。